(a) Verifique que f(x)=|x| é contínua em a=0.
(b) O que se pode dizer da continuidade de g(x)=\frac{|x|}{x} nesse mesmo ponto?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em a=0:
(a) Verificar se f(x)=|x| é contínua em 0.
(b) Dizer o que se pode afirmar sobre a continuidade de g(x)=\dfrac{|x|}{x} em 0.
Informações relevantes fornecidas:
A definição das funções: f(x)=|x| para todo x\in\mathbb{R} e g(x)=\dfrac{|x|}{x} (observação: essa expressão só faz sentido para x\neq0).
O ponto de interesse é a=0.
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade (aula rápida e prática).
Dizemos que uma função h é contínua em a se e somente se \lim_{x\to a} h(x)=h(a).
A maneira “formal” (epsilon-delta) de escrever isso é: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x, se |x-a|<\delta então |h(x)-h(a)|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para provar a continuidade de f. Também explicarei a continuidade de g analisando domínio e limites laterais.
Passo 3
Prova (epsilon-delta) de que f(x)=|x| é contínua em 0.
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-0|<\delta então \bigl||x|-|0|\bigr|<\varepsilon.
Note que |0|=0. Então a desigualdade fica \bigl||x|-0\bigr|=|\,|x|\,|=|x|.
Escolhemos \delta=\varepsilon. Agora, se |x-0|<\delta então |x|<\delta=\varepsilon. Logo \bigl||x|-|0|\bigr|=|x|<\varepsilon.
Isso vale para todo \varepsilon>0, portanto, pela definição epsilon-delta, \lim_{x\to0}|x|=|0| e f é contínua em 0.
Comentário intuitivo: |x| mede a distância de x até 0. Aproximar x de 0 faz a distância |x| ficar pequena — por isso a continuidade.
Passo 4
Uma visão alternativa (mais direta) que ajuda na prova e entendimento:
Para x>0 temos |x|=x. Então \lim_{x\to0^+}|x|=\lim_{x\to0^+}x=0.
Para x<0 temos |x|=-x. Então \lim_{x\to0^-}|x|=\lim_{x\to0^-}(-x)=0.
Como as duas limites laterais são iguais a 0 e f(0)=0, a função é contínua em 0.
Isso dá uma intuição gráfica: o gráfico de |x| tem um “V” e não há salto em 0.
Passo 5
Agora analisar g(x)=\dfrac{|x|}{x} no ponto 0.
Primeiro observação fundamental sobre domínio: a expressão \dfrac{|x|}{x} não está definida em x=0 (divisão por zero). Logo g não é função definida em 0 pelo enunciado. Uma função precisa estar definida no ponto para que possamos falar em continuidade nesse ponto. Portanto, estritamente, g não é contínua em 0 porque não está definida em 0.
Mesmo assim, é útil estudar o limite quando x\to0:
Para x>0: \dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1. Então \lim_{x\to0^+}\dfrac{|x|}{x}=1.
Para x<0: \dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x}=-1. Então \lim_{x\to0^-}\dfrac{|x|}{x}=-1.
Como as duas limites laterais são diferentes (1 e -1), o limite \lim_{x\to0}\dfrac{|x|}{x} não existe.
Passo 6
Conclusões acerca de g:
g não está definida em 0, logo não é contínua em 0 (continuidade exige que o valor g(0) exista).
Além disso, mesmo que alguém tentasse definir um valor arbitrário g(0)=L para “corrigir” a definição, não seria possível tornar g contínua em 0 porque os limites laterais não coincidem (\lim_{x\to0^+}g(x)=1 e \lim_{x\to0^-}g(x)=-1). Para ser contínua teria de satisfazer \lim_{x\to0}g(x)=g(0), mas o limite sequer existe.
Resposta
(a) f é contínua em 0.\n(b) g não é contínua em 0: g não está definida em 0 e \lim_{x\to0^+}\dfrac{|x|}{x}=1, \lim_{x\to0^-}\dfrac{|x|}{x}=-1 (logo o limite em 0 não existe).