Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Princípio que vamos usar (integração por substituição, explicado com calma).
Se fizermos uma substituição , então
. A regra de substituição diz que
Se fizermos uma substituição
ou seja, trocar a variável complica menos o cálculo. Aqui:
-
é a expressão dentro da função composta (por exemplo, o expoente no caso de uma exponencial); -
é a derivada de em relação a ; -
é a função externa (por exemplo ).
Exemplo simples:.
Passo 3
Identificar a substituição adequada para o problema.
Observando a integral , o expoente é
e sua derivada é
, que é um múltiplo de
que aparece fora do exponencial. Portanto tomamos:
Observando a integral
Agora calculamos
:
Dessa identidade isolamos
:
Passo 4
Fazer a substituição na integral.
Substituindo e
na integral original obtemos:
Substituindo
Passo 5
Integrar em
.
A integral de em relação a
é
. Assim:
A integral de
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar na prova).
Derivando a resposta para garantir que volta ao integrando:
Derivando a resposta para garantir que volta ao integrando:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.