Calcular as integrais:
\int x^{2} e^{5 x^{3}-1} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
\int x^{2} e^{5 x^{3}-1}\, \mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{2} e^{5 x^{3}-1}.
  • Quer-se encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2} e^{5 x^{3}-1}.
  • Deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Princípio que vamos usar (integração por substituição, explicado com calma).
Se fizermos uma substituição \,u=g(x)\,, então \mathrm{d}u=g'(x)\,\mathrm{d}x. A regra de substituição diz que
\int f(g(x))\,g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u,
ou seja, trocar a variável complica menos o cálculo. Aqui:
  • g(x) é a expressão dentro da função composta (por exemplo, o expoente no caso de uma exponencial);
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x;
  • f é a função externa (por exemplo e^{(\cdot)}).
    Exemplo simples: \int \cos(3x)\,3\,\mathrm{d}x=\int \cos(u)\,\mathrm{d}u=\sin(u)+C=\sin(3x)+C.

Passo 3

Identificar a substituição adequada para o problema.
Observando a integral \int x^{2} e^{5 x^{3}-1}\,\mathrm{d}x, o expoente é 5x^{3}-1 e sua derivada é 15x^{2}, que é um múltiplo de x^{2} que aparece fora do exponencial. Portanto tomamos:
u = 5 x^{3}-1.
Agora calculamos \mathrm{d}u:
\mathrm{d}u = 15 x^{2}\,\mathrm{d}x.
Dessa identidade isolamos x^{2}\,\mathrm{d}x:
x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{15}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Fazer a substituição na integral.
Substituindo u e x^{2}\,\mathrm{d}x na integral original obtemos:
\int x^{2} e^{5 x^{3}-1}\,\mathrm{d}x = \int e^{u}\left(\frac{1}{15}\,\mathrm{d}u\right) = \frac{1}{15}\int e^{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Integrar em u.
A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}. Assim:
\frac{1}{15}\int e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{15} e^{u} + C.
Voltando à variável x (substituindo u=5x^{3}-1):
\frac{1}{15} e^{u} + C = \frac{1}{15} e^{5 x^{3}-1} + C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova).
Derivando a resposta para garantir que volta ao integrando:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{15} e^{5 x^{3}-1}\right) = \frac{1}{15} e^{5 x^{3}-1}\cdot 15 x^{2} = x^{2} e^{5 x^{3}-1},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{15}e^{5x^{3}-1}+C

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