Calcular as integrais:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas: a integranda é o produto de
por uma raiz quadrada de uma expressão linear em
. Não há outros dados; é uma integral indefinida (procuramos uma primitiva mais constante
).
Passo 2
Ideia e escolha do método (sem resolver ainda): quando aparece
costuma ser útil fazer uma substituição que torne essa raiz uma potência simples de uma nova variável. Vou usar a substituição
Agora vamos transformar toda a integral para a variável
. Para isso calculo
e expresso
e
em termos de
.
Passo 3
Calcular
,
e
em função de
:
Da definição
temos também
Vou substituir essas relações na integral original.
Passo 4
Substituição na integral passo a passo. Começo trocando
por
, e
e
pelas expressões acima:
Coloco os fatores constantes fora da integral:
Faço a multiplicação interna
, então
Passo 5
Integração termo a termo usando a regra de potência. Lembrete rápido da regra: para
,
Aplicando aos dois termos:
Substituindo na integral:
Passo 6
Simplifico os coeficientes numéricos:
Portanto a primitiva em
é
Finalmente retorno à variável
usando
: