Calcular as integrais:
\int x \sqrt{1-3 x} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int x \sqrt{1-3x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de x por uma raiz quadrada de uma expressão linear em x. Não há outros dados; é uma integral indefinida (procuramos uma primitiva mais constante C).

Passo 2

Ideia e escolha do método (sem resolver ainda): quando aparece \sqrt{1-3x} costuma ser útil fazer uma substituição que torne essa raiz uma potência simples de uma nova variável. Vou usar a substituição
u = 1-3x.
Agora vamos transformar toda a integral para a variável u. Para isso calculo du e expresso x e dx em termos de u.

Passo 3

Calcular du, dx e x em função de u:
du = -3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{1}{3}\,du.
Da definição u=1-3x temos também
x = \frac{1-u}{3}.
Vou substituir essas relações na integral original.

Passo 4

Substituição na integral passo a passo. Começo trocando \sqrt{1-3x} por \sqrt{u}=u^{1/2}, e x e dx pelas expressões acima:
\int x \sqrt{1-3x}\,dx = \int \left(\frac{1-u}{3}\right) u^{1/2}\left(-\frac{1}{3}\,du\right).
Coloco os fatores constantes fora da integral:
= -\frac{1}{9}\int (1-u)\,u^{1/2}\,du.
Faço a multiplicação interna (1-u)u^{1/2}=u^{1/2}-u^{3/2}, então
= -\frac{1}{9}\int \bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Integração termo a termo usando a regra de potência. Lembrete rápido da regra: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando aos dois termos:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Substituindo na integral:
-\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\right).

Passo 6

Simplifico os coeficientes numéricos:
-\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{27},\qquad -\frac{1}{9}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{45}.
Portanto a primitiva em u é
-\frac{2}{27}u^{3/2}+\frac{2}{45}u^{5/2}+C.
Finalmente retorno à variável x usando u=1-3x:
-\frac{2}{27}(1-3x)^{3/2}+\frac{2}{45}(1-3x)^{5/2}+C.

Resposta

-\frac{2}{27}(1-3x)^{3/2}+\frac{2}{45}(1-3x)^{5/2}+C

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