Calcular as integrais:
\int \cos ^{4}(2 x) \operatorname{sen}^{3}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x).
  • O argumento das funções trigonométricas é 2x.
  • A potência de \sin é ímpar ( 3), o que costuma ser uma pista útil para escolher a técnica de integração.
  • Precisa-se de uma primitiva (antiderivada) da função em x.

Passo 2

Observação e escolha de estratégia (explicada passo a passo): quando numa integral trigonométrica uma das funções seno ou cosseno aparece com potência ímpar, uma estratégia eficaz é separar um fator dessa função (a que tem potência ímpar) e usar a identidade pitagórica para transformar as potências restantes em função da outra trigonométrica. Aqui a potência ímpar é a de \sin, então escrevemos \sin^{3}(2x)=\sin^{2}(2x)\,\sin(2x) e usamos a identidade
\sin^{2}(2x)=1-\cos^{2}(2x).
Depois disso fica natural fazer a substituição u=\cos(2x) porque o diferencial de u envolve \sin(2x)\,dx. Vou aplicar isso explicitamente.

Passo 3

Reescrevendo a integranda usando \sin^{3}(2x)=\sin^{2}(2x)\sin(2x) e a identidade pitagórica:
\int \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x)\,dx = \int \cos^{4}(2x)\,\bigl(1-\cos^{2}(2x)\bigr)\,\sin(2x)\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos(2x). Primeiro calculemos du. Pela regra da cadeia, a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x), portanto
du = -2\sin(2x)\,dx.
Isolando \sin(2x)\,dx obtemos
\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 5

Substituindo u=\cos(2x) e \sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}du na integral do Passo 3:
\int \cos^{4}(2x)\,\bigl(1-\cos^{2}(2x)\bigr)\,\sin(2x)\,dx = \int u^{4}\,(1-u^{2})\left(-\tfrac{1}{2}du\right).
Colocando o fator constante fora:
= -\tfrac{1}{2}\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra da potência para antiderivadas: para n\neq-1 vale \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aplicando isso a cada termo:
\int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7}.
Logo
-\tfrac{1}{2}\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du = -\tfrac{1}{2}\left(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\right)+C.

Passo 7

Simplificar os fatores constantes multiplicando -\tfrac{1}{2} pelos termos dentro do parêntese:
- \tfrac{1}{2}\cdot \frac{u^{5}}{5} = -\frac{1}{10}u^{5}, \qquad - \tfrac{1}{2}\cdot\left(-\frac{u^{7}}{7}\right)=+\frac{1}{14}u^{7}.
Portanto a primitiva em u é
-\frac{1}{10}u^{5}+\frac{1}{14}u^{7}+C.

Passo 8

Voltar para a variável x substituindo u=\cos(2x). Assim a primitiva da integral original é
-\frac{1}{10}\cos^{5}(2x)+\frac{1}{14}\cos^{7}(2x)+C.

Passo 9

Comentário final rápido (opcional de verificação): pode-se checar derivando -\tfrac{1}{10}\cos^{5}(2x)+\tfrac{1}{14}\cos^{7}(2x) e confirmar que a derivada retorna \cos^{4}(2x)\sin^{3}(2x). Isso confirma que a antiderivada encontrada está correta.

Resposta

-\frac{1}{10}\cos{5}(2x)+\frac{1}{14}\cos{7}(2x)+C

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