Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integranda é
. - O argumento das funções trigonométricas é
. - A potência de
é ímpar ( ), o que costuma ser uma pista útil para escolher a técnica de integração. - Precisa-se de uma primitiva (antiderivada) da função em
.
Passo 2
Observação e escolha de estratégia (explicada passo a passo): quando numa integral trigonométrica uma das funções seno ou cosseno aparece com potência ímpar, uma estratégia eficaz é separar um fator dessa função (a que tem potência ímpar) e usar a identidade pitagórica para transformar as potências restantes em função da outra trigonométrica. Aqui a potência ímpar é a de
, então escrevemos
e usamos a identidade
Depois disso fica natural fazer a substituição
porque o diferencial de
envolve
. Vou aplicar isso explicitamente.
Passo 3
Reescrevendo a integranda usando
e a identidade pitagórica:
Passo 4
Fazer a substituição
. Primeiro calculemos
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
, portanto
Isolando
obtemos
Passo 5
Substituindo
e
na integral do Passo 3:
Colocando o fator constante fora:
Passo 6
Integrar termo a termo usando a regra da potência para antiderivadas: para
vale
. Aplicando isso a cada termo:
Logo
Passo 7
Simplificar os fatores constantes multiplicando
pelos termos dentro do parêntese:
Portanto a primitiva em
é
Passo 8
Voltar para a variável
substituindo
. Assim a primitiva da integral original é
Passo 9
Comentário final rápido (opcional de verificação): pode-se checar derivando
e confirmar que a derivada retorna
. Isso confirma que a antiderivada encontrada está correta.
Resposta
-\frac{1}{10}\cos{5}(2x)+\frac{1}{14}\cos{7}(2x)+C