Calcular as integrais:
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4 \operatorname{sen} x+5} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a integral indefinida \displaystyle \int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4\operatorname{sen} x+5}\,dx.
  • Pede encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, escrevendo a resposta com constante de integração C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \cos x.
  • O denominador é um polinômio quadrático em \operatorname{sen} x: \operatorname{sen}^{2}x+4\operatorname{sen}x+5.
  • Não há outras restrições no enunciado (integral indefinida padrão).

Passo 2

Ideia de resolução (sem desenvolver ainda): quando a variável trigonométrica aparece dentro de um polinômio em \operatorname{sen}x e o numerador é \cos x\,dx, uma substituição natural e direta é colocar
u=\operatorname{sen}x,
pois du=\cos x\,dx. Essa substituição transforma a integral em uma integral racional em u. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando a substituição u=\operatorname{sen}x:
  • Calculo diferencial: \,du=\cos x\,dx.
  • Logo \cos x\,dx=du.
  • Substituindo na integral obtemos
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4\operatorname{sen} x+5}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}+4u+5}.

Passo 4

Agora temos uma integral em u:
\int \frac{du}{u^{2}+4u+5}.
Para integrar uma razão com um polinômio quadrático no denominador, é útil completar o quadrado no denominador para ter uma forma (\text{algo})^{2}+a^{2}, que lembra a integral da função \arctan. Vou completar o quadrado em u^{2}+4u+5.

Passo 5

Completar o quadrado:
u^{2}+4u+5 = (u^{2}+4u+4)+1 = (u+2)^{2}+1.
Portanto a integral fica
\int \frac{du}{(u+2)^{2}+1}.

Passo 6

Reconhecendo a forma padrão: a integral
\int \frac{dt}{t^{2}+1}
tem primitiva \arctan t + C, porque \frac{d}{dt}\bigl(\arctan t\bigr)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. No nosso caso, t=u+2. Como dt=du, temos exatamente
\int \frac{du}{(u+2)^{2}+1} = \arctan(u+2)+C.

Passo 7

Volto à variável original x usando u=\operatorname{sen}x. Assim a primitiva é
\arctan(\operatorname{sen}x+2)+C.
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): derivando \arctan(\operatorname{sen}x+2) pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(\operatorname{sen}x+2)\bigr] = \frac{1}{1+(\operatorname{sen}x+2)^{2}}\cdot\cos x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x+4\operatorname{sen}x+5},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\arctan(\operatorname{sen}x+2)+C

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