Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a integral indefinida
. - Pede encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, escrevendo a resposta com constante de integração
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é um polinômio quadrático em
: . - Não há outras restrições no enunciado (integral indefinida padrão).
Passo 2
Ideia de resolução (sem desenvolver ainda): quando a variável trigonométrica aparece dentro de um polinômio em
e o numerador é
, uma substituição natural e direta é colocar
pois
. Essa substituição transforma a integral em uma integral racional em
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Calculo diferencial:
. - Logo
. - Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Agora temos uma integral em
:
Para integrar uma razão com um polinômio quadrático no denominador, é útil completar o quadrado no denominador para ter uma forma
, que lembra a integral da função
. Vou completar o quadrado em
.
Passo 5
Completar o quadrado:
Portanto a integral fica
Passo 6
Reconhecendo a forma padrão: a integral
tem primitiva
, porque
. No nosso caso,
. Como
, temos exatamente
Passo 7
Volto à variável original
usando
. Assim a primitiva é
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): derivando
pelo teorema da cadeia:
que coincide com o integrando original.