Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede calcular a integral indefinida
- Informações dadas: a variável de integração é
. No integrando aparece e . - Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) em função de
, mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método (motivo didático e prático):
Temos potências de com expoentes racionais diferentes (
e
). Uma estratégia eficiente é fazer uma substituição que torne esses expoentes inteiros. Se escolhermos
então:
Temos potências de
-
; -
; -
.
Essa escolha transforma a integral em uma integral racional em, que é mais fácil de tratar.
Passo 3
Fazer a substituição
. Calcular diferenciais e substituir:
-
implica . - Substituindo no integrando:
então
A integral em
passa a ser uma integral em
:
Passo 4
Transformar a integral racional em algo integrável: fazer divisão de polinômios para reduzir o grau do numerador. Queremos escrever
como um polinômio mais uma fração com grau do numerador menor que 2. Fazendo a divisão (ou usando identidade), encontra-se:
Verificação rápida (multiplicando os termos):
portanto sobra
, confirmando a identidade acima. Assim
Multiplicando por
(lembre que temos
):
onde
.
Passo 5
Agora integrar termo a termo:
Temos que calcular
Temos que calcular
Integramos cada parcela usando regras básicas:
Aplicando:
e para a parte racional
(Já que aqui
.)
Somando todas as parcelas obtemos a primitiva em
:
Passo 6
Voltar para a variável original
usando
. Substituindo
por
em cada termo:
Portanto a primitiva em função de
é