Calcular as integrais:
\int \frac{2 \sqrt{t}}{13+\sqrt[3]{t}} \mathrm{~d} t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2\sqrt{t}}{13+\sqrt[3]{t}}\,\mathrm{d}t.
  • Informações dadas: a variável de integração é t. No integrando aparece \sqrt{t}=t^{1/2} e \sqrt[3]{t}=t^{1/3}.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) em função de t, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (motivo didático e prático):
Temos potências de t com expoentes racionais diferentes ( 1/2 e 1/3). Uma estratégia eficiente é fazer uma substituição que torne esses expoentes inteiros. Se escolhermos x=t^{1/6} então:
  • t=x^6;
  • \sqrt{t}=t^{1/2}=(x^6)^{1/2}=x^3;
  • \sqrt[3]{t}=t^{1/3}=(x^6)^{1/3}=x^2.
    Essa escolha transforma a integral em uma integral racional em x, que é mais fácil de tratar.

Passo 3

Fazer a substituição \,x=t^{1/6}. Calcular diferenciais e substituir:
  • \,t=x^6 implica \,\mathrm{d}t=6x^5\mathrm{d}x.
  • Substituindo no integrando:
\sqrt{t}=x^3,\qquad \sqrt[3]{t}=x^2,
então
\frac{2\sqrt{t}}{13+\sqrt[3]{t}}\,\mathrm{d}t = \frac{2x^3}{13+x^2}\cdot 6x^5\mathrm{d}x = \frac{12x^8}{13+x^2}\,\mathrm{d}x.
A integral em t passa a ser uma integral em x:
\int \frac{2\sqrt{t}}{13+\sqrt[3]{t}}\,\mathrm{d}t = \int \frac{12x^8}{13+x^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Transformar a integral racional em algo integrável: fazer divisão de polinômios para reduzir o grau do numerador. Queremos escrever
\frac{x^8}{x^2+13}
como um polinômio mais uma fração com grau do numerador menor que 2. Fazendo a divisão (ou usando identidade), encontra-se:
x^8 = (x^2+13)\bigl(x^6-13x^4+169x^2-2197\bigr) + 28561.
Verificação rápida (multiplicando os termos):
(x^2+13)(x^6-13x^4+169x^2-2197) = x^8 +0x^6+0x^4+0x^2 -28561,
portanto sobra x^8 -\bigl(\text{produto}\bigr)=28561, confirmando a identidade acima. Assim
\frac{x^8}{x^2+13}=x^6-13x^4+169x^2-2197+\frac{28561}{x^2+13}.
Multiplicando por 12 (lembre que temos 12x^8/(x^2+13)):
\frac{12x^8}{x^2+13} =12x^6-156x^4+2028x^2-26364+\frac{342732}{x^2+13},
onde 342732=12\cdot28561.

Passo 5

Agora integrar termo a termo:
Temos que calcular
\int \left(12x^6-156x^4+2028x^2-26364+\frac{342732}{x^2+13}\right)\mathrm{d}x.
Integramos cada parcela usando regras básicas:
  • \displaystyle\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • \displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Aplicando:
\int 12x^6\mathrm{d}x = 12\cdot\frac{x^7}{7}=\frac{12}{7}x^7,
\int -156x^4\mathrm{d}x = -156\cdot\frac{x^5}{5}=-\frac{156}{5}x^5,
\int 2028x^2\mathrm{d}x = 2028\cdot\frac{x^3}{3}=676x^3,
\int -26364\,\mathrm{d}x = -26364x,
e para a parte racional
\int \frac{342732}{x^2+13}\mathrm{d}x =342732\cdot\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+(\sqrt{13})^2} =342732\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{13}}\right).
(Já que aqui a=\sqrt{13}.)
Somando todas as parcelas obtemos a primitiva em x:
\frac{12}{7}x^7-\frac{156}{5}x^5+676x^3-26364x+\frac{342732}{\sqrt{13}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{13}}\right)+C.

Passo 6

Voltar para a variável original t usando x=t^{1/6}. Substituindo x por t^{1/6} em cada termo:
x^7=(t^{1/6})^7=t^{7/6},\qquad x^5=t^{5/6},\qquad x^3=t^{1/2},\qquad x=t^{1/6}.
Portanto a primitiva em função de t é
\frac{12}{7}t^{7/6}-\frac{156}{5}t^{5/6}+676t^{1/2}-26364t^{1/6}+\frac{342732}{\sqrt{13}}\arctan\!\left(\frac{t^{1/6}}{\sqrt{13}}\right)+C.

Resposta

\frac{12}{7}t^{7/6}-\frac{156}{5}t^{5/6}+676t^{1/2}-26364t^{1/6}+\frac{342732}{\sqrt{13}}\arctan\!\left(\frac{t^{1/6}}{\sqrt{13}}\right)+C

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