Calcular as integrais seguintes usando o método de integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Trata‑se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Apresentar e provar a fórmula que vamos usar (integração por partes). Começamos da regra do produto para derivadas:
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada é
, logo:
Isolando uma das integrais obtemos a fórmula de integração por partes:
onde escrevemos
e
. Aqui:
-
é uma função que escolhemos para ser diferenciada (gera ); -
é a parte que escolhemos para integrar (gera ).
Passo 3
Estratégia para escolher
e
no caso
:
- Regra prática: escolha
como a parte polinomial (que fica mais simples ao derivar) e como a exponencial (fácil de integrar).
Portanto escolhemos
Então:
Passo 4
Aplicar a fórmula
com as escolhas feitas:
Simplificando o fator
:
Agora resta calcular
, que precisa de uma segunda aplicação de integração por partes.
Passo 5
Calcular
por partes. Escolhas naturais:
Então
Aplicando a fórmula:
Como essa integral será multiplicada por
no passo anterior, temos
Passo 6
Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 5:
onde juntei as constantes de integração num único
. Desenvolvendo o parêntese:
Fatorando
:
Passo 7
Verificação rápida (derivando o resultado para conferir que volta ao integrando):
Calcular .
Usando a regra do produto:
Calcular
Usando a regra do produto:
Somando os termos dentro de
:
logo a derivada é
, que é exatamente o integrando. Confirmação ok.