Calcular as integrais seguintes usando o método de integração por partes.
\int e^{x} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x} x^{2}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é e^{x}x^{2}.
  • Trata‑se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Apresentar e provar a fórmula que vamos usar (integração por partes). Começamos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
A integral da derivada é uv, logo:
uv=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
Isolando uma das integrais obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escrevemos du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para ser diferenciada (gera du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (gera v).

Passo 3

Estratégia para escolher u e dv no caso \int e^{x}x^{2}\,dx:
  • Regra prática: escolha u como a parte polinomial (que fica mais simples ao derivar) e dv como a exponencial (fácil de integrar).
    Portanto escolhemos
u=x^{2},\qquad dv=e^{x}\,dx.
Então:
du=2x\,dx,\qquad v=\int e^{x}\,dx=e^{x}.

Passo 4

Aplicar a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com as escolhas feitas:
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator 2:
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.
Agora resta calcular \int x e^{x}\,dx, que precisa de uma segunda aplicação de integração por partes.

Passo 5

Calcular \int x e^{x}\,dx por partes. Escolhas naturais:
u=x,\qquad dv=e^{x}\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_{1}.
Como essa integral será multiplicada por 2 no passo anterior, temos
2\int x e^{x}\,dx = 2\big(x e^{x} - e^{x}\big) = 2x e^{x} - 2e^{x}.

Passo 6

Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 5:
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - \big(2x e^{x} - 2e^{x}\big) + C,
onde juntei as constantes de integração num único C. Desenvolvendo o parêntese:
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C.
Fatorando e^{x}:
\int e^{x}x^{2}\,dx = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando o resultado para conferir que volta ao integrando):
Calcular \frac{d}{dx}\Big[e^{x}(x^{2}-2x+2)\Big].
Usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x^{2}-2x+2)\big)=e^{x}(x^{2}-2x+2)+e^{x}(2x-2).
Somando os termos dentro de e^{x}:
x^{2}-2x+2+2x-2 = x^{2},
logo a derivada é e^{x}x^{2}, que é exatamente o integrando. Confirmação ok.

Resposta

e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C

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