Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é uma função racional (fração de polinômios).
- O numerador é um polinômio de grau
e o denominador é um polinômio de grau . - A resposta pedida é uma primitiva (função cuja derivada é o integrando), ou seja uma expressão com constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: como o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
) e o denominador pode ser fatorado em fatores lineares reais distintos, o método mais direto é decompor em frações parciais. Antes disso, fatoro o denominador:
Procurar dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Portanto
Passo 3
Configurar a decomposição em frações parciais: escrever a fração como soma de termos simples sobre cada fator linear:
onde
e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtenho a identidade:
Passo 4
Determinar
e
escolhendo valores de
que anulem termos:
- Tomo
. Então e o lado direito fica . Logo
- Tomo
. Então e o lado direito fica . Logo
Portanto
Passo 5
Agora integro termo a termo:
Lembrando a primitiva padrão: para qualquer constante
,
pois, com a substituição
,
, obtém-se essa fórmula. Multiplicando por constantes sai a constante multiplicativa fora da integral.
Passo 6
Aplicando a regra:
Somando e juntando as constantes de integração numa só
,
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado obtido deve retornar o integrando.
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.