Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{7 x+11}{x^{2}+x-6} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{7x+11}{x^{2}+x-6}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional (fração de polinômios).
  • O numerador é um polinômio de grau 1 e o denominador é um polinômio de grau 2.
  • A resposta pedida é uma primitiva (função cuja derivada é o integrando), ou seja uma expressão com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: como o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2) e o denominador pode ser fatorado em fatores lineares reais distintos, o método mais direto é decompor em frações parciais. Antes disso, fatoro o denominador:
Procurar dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja 1. Esses números são 3 e -2. Portanto
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).

Passo 3

Configurar a decomposição em frações parciais: escrever a fração como soma de termos simples sobre cada fator linear:
\frac{7x+11}{x^{2}+x-6}=\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x+3)(x-2) obtenho a identidade:
7x+11 = A(x-2)+B(x+3).

Passo 4

Determinar A e B escolhendo valores de x que anulem termos:
  • Tomo x=2. Então 7\cdot2+11=25 e o lado direito fica A\cdot0+B(2+3)=5B. Logo
5B=25 \quad\Rightarrow\quad B=5.
  • Tomo x=-3. Então 7(-3)+11=-21+11=-10 e o lado direito fica A(-3-2)= -5A. Logo
-5A=-10 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Portanto
\frac{7x+11}{x^{2}+x-6}=\frac{2}{x+3}+\frac{5}{x-2}.

Passo 5

Agora integro termo a termo:
\int \frac{7x+11}{x^{2}+x-6}\,dx = \int \frac{2}{x+3}\,dx + \int \frac{5}{x-2}\,dx.
Lembrando a primitiva padrão: para qualquer constante a,
\int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C,
pois, com a substituição u=x+a, du=dx, obtém-se essa fórmula. Multiplicando por constantes sai a constante multiplicativa fora da integral.

Passo 6

Aplicando a regra:
\int \frac{2}{x+3}\,dx = 2\ln|x+3|+C_1, \qquad \int \frac{5}{x-2}\,dx = 5\ln|x-2|+C_2.
Somando e juntando as constantes de integração numa só C,
\int \frac{7x+11}{x^{2}+x-6}\,dx = 2\ln|x+3| + 5\ln|x-2| + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado obtido deve retornar o integrando.
\frac{d}{dx}\bigl(2\ln|x+3| + 5\ln|x-2|\bigr) = \frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2} = \frac{2(x-2)+5(x+3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{7x+11}{x^{2}+x-6},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

2\ln|x+3|+5\ln|x-2|+C

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