Calcular as integrais seguintes usando o método da mudança de variável.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função integranda é
. - A função
(arco-seno) está definida para ; a raiz também exige . Portanto o domínio natural da expressão é (podendo incluir as extremidades em contextos adequados). - O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Escolher a mudança de variável. Uma boa escolha é definir a nova variável igual ao argumento de
, porque a derivada de
envolve exatamente
, que aparece na integranda. Então fazemos a substituição
Vou explicar por que essa é uma escolha natural: se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
(ou invertendo a derivada da função inversa), obtém-se a fórmula conhecida
Breve justificativa dessa fórmula: se
então
e
. Como
, tem-se
, logo
.
Passo 3
Calcular
e expressar
em função de
. A partir de
segue
Isolando a combinação que aparece na integral:
Essa é a manipulação algébrica simples que torna a integral fácil.
Passo 4
Reescrever a integral usando
. Substituindo
e
, a integral original fica
Passo 5
Calcular a integral em
. Usando a regra do polinômio (ou regra da potência) para antiderivadas,
. Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
. Substituindo
de volta, obtemos a primitiva
Passo 7
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando
,
que coincide com a integranda. Está correto.