Calcular as integrais seguintes usando o método da mudança de variável.
\int \frac{\operatorname{arcsen} x}{2 \sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\operatorname{arcsen} x}{2\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{arcsen} x}{2\sqrt{1-x^{2}}}.
  • A função \operatorname{arcsen} x (arco-seno) está definida para x\in[-1,1]; a raiz \sqrt{1-x^{2}} também exige x\in[-1,1]. Portanto o domínio natural da expressão é x\in(-1,1) (podendo incluir as extremidades em contextos adequados).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{arcsen} x}{2\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 2

Escolher a mudança de variável. Uma boa escolha é definir a nova variável igual ao argumento de \operatorname{arcsen}, porque a derivada de \operatorname{arcsen} x envolve exatamente 1/\sqrt{1-x^{2}}, que aparece na integranda. Então fazemos a substituição
u=\operatorname{arcsen} x.
Vou explicar por que essa é uma escolha natural: se u=\operatorname{arcsen} x então x=\operatorname{sen} u. Derivando ambos os lados em relação a x (ou invertendo a derivada da função inversa), obtém-se a fórmula conhecida
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Breve justificativa dessa fórmula: se u=\operatorname{arcsen} x então x=\operatorname{sen} u e dx/du=\cos u. Como \cos u=\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}u}=\sqrt{1-x^{2}}, tem-se dx/du=\sqrt{1-x^{2}}, logo du/dx=1/\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 3

Calcular du e expressar dx/(2\sqrt{1-x^{2}}) em função de du. A partir de u=\operatorname{arcsen} x segue
du=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Isolando a combinação que aparece na integral:
\frac{dx}{2\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2}\,du.
Essa é a manipulação algébrica simples que torna a integral fácil.

Passo 4

Reescrever a integral usando u. Substituindo u=\operatorname{arcsen} x e \dfrac{dx}{2\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{1}{2}\,du, a integral original fica
\int \frac{\operatorname{arcsen} x}{2\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u. Usando a regra do polinômio (ou regra da potência) para antiderivadas, \int u\,du = \dfrac{u^{2}}{2}. Então
\frac{1}{2}\int u\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2}=\frac{u^{2}}{4}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x. Substituindo u=\operatorname{arcsen} x de volta, obtemos a primitiva
F(x)=\frac{\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr)^{2}}{4}+C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando F(x),
F'(x)=\frac{1}{4}\cdot 2\operatorname{arcsen} x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr) =\frac{\operatorname{arcsen} x}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{\operatorname{arcsen} x}{2\sqrt{1-x^{2}}},
que coincide com a integranda. Está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr)^{2}}{4}+C

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