Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 2^x^2+1 x ,dx usando substituição, que é uma técnica de integração de funções compostas. Vamos precisar reconhecer a parte da função que, ao derivar, aparece como fator no integrando e aplicar a fórmula de integração de uma exponencial de base a.

Passo 2

Identificamos a parte interna que pode simplificar a integral: seja u = x^2 + 1. Assim, estamos olhando para 2^u como a parte exponencial.
Derivando u em relação a x temos:
du = 2x ,dx
Desse modo, podemos escrever x ,dx = tfrac12 ,du.

Passo 3

Substituindo na integral original trocamos x^2+1 por u e x ,dx por tfrac12 ,du:
integral 2^x^2+1 x ,dx = integral 2^u cdot tfrac12 ,du = tfrac12 integral 2^u ,du

Passo 4

Usamos a fórmula de integração de uma exponencial de base a:
integral a^u ,du = a^uln(a) + C
No nosso caso, a=2, logo:
tfrac12 integral 2^u ,du = tfrac12 cdot 2^uln(2) + C = 2^u2ln(2) + C

Passo 5

Voltamos à variável original substituindo u = x^2 + 1:
2^x^2+12ln(2) + C

Resposta

2^x^2+12ln(2) + C

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