Sejam f, g: R longrightarrow R funções deriváveis, tais que, f^prime(0)=raiz2, f^prime(1)=-2, f(0)=0, f(1)=-1, g(0)=1 e g^prime(0)=2 raiz2. Definimos h(x)=f circ g(x), x in R.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função h, no ponto de abscissa x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, e , que são diferenciáveis. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função composta no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivada e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de h(0) = f(g(0)) . Sabemos que h(0) = f(1) = -1 , então:
Pelo enunciado, e . Assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de h'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) no ponto h'(0) = f'(g(0)) cdot g'(0) , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz:
Então, substituindo :
Sabemos que e .

Passo 4

Agora, precisamos do valor de h'(0) = f'(1) cdot g'(0) = (-2) cdot 2raiz2 = -4raiz2 . Pelo enunciado, . Então:

Passo 5

Com y = h'(0)(x - x0) + h(x0) e y = -4raiz2(x - 0) + (-1) Rightarrow y = -4raiz2x - 1 , podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta tangente:
Aqui, , então:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de y = -4raiz2,x - 1 no ponto é:

Exercícios relacionados