Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
∫ 5 x \sqrt{4-3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int 5x\sqrt{4-3x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 5x\sqrt{4-3x^{2}}.
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) da função, isto é, uma expressão que, quando derivada em x, retorna 5x\sqrt{4-3x^{2}}.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática):
  • Quando vemos uma expressão composta como \sqrt{4-3x^{2}}, costuma ser útil substituir a parte interna por uma nova variável, digamos u, para simplificar a integral.
  • A regra básica: se \,u = u(x), então \,du = u'(x)\,dx. Podemos reescrever dx em termos de du e, se tudo der certo, transformar a integral em uma em u mais fácil de calcular.
  • Aqui a parte “complicada” dentro da raiz é 4-3x^{2}. Então escolhemos a substituição
u = 4-3x^{2}.

Passo 3

Calcular du e expressar x\,dx em termos de du:
  • Diferenciando \,u = 4-3x^{2} em relação a x, obtemos
du = \frac{d}{dx}(4-3x^{2})\,dx = (-6x)\,dx.
  • Isolando x\,dx,
x\,dx = -\frac{1}{6}\,du.
Explicação: isso vem de dividir ambos os lados por -6.

Passo 4

Reescrever a integral em função de u:
  • Escrevemos a integral original como
\int 5x\sqrt{4-3x^{2}}\,dx = 5\int x\,(4-3x^{2})^{1/2}\,dx.
  • Agora substituímos (4-3x^{2}) por u e x\,dx por -\dfrac{1}{6}du:
5\int x\,(4-3x^{2})^{1/2}\,dx = 5\int u^{1/2}\left(-\frac{1}{6}du\right).
  • Fatorando constantes:
5\int u^{1/2}\left(-\frac{1}{6}du\right) = -\frac{5}{6}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência (explicação detalhada):
  • Regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra,
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C.
  • Substituindo na expressão com a constante:
-\frac{5}{6}\int u^{1/2}\,du = -\frac{5}{6}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C.

Passo 6

Simplificar as constantes:
  • O fator \dfrac{1}{3/2} é igual a \dfrac{2}{3}. Então
-\frac{5}{6}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = -\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = -\frac{5}{9}u^{3/2}.
  • Portanto, a primitiva em u é
-\frac{5}{9}u^{3/2}+C.

Passo 7

Voltar à variável x (substituição inversa) e escrever a resposta final:
  • Lembrando que u = 4-3x^{2}, substituímos de volta:
-\frac{5}{9}u^{3/2}+C = -\frac{5}{9}\bigl(4-3x^{2}\bigr)^{3/2}+C.

Passo 8

Verificação rápida por derivação (usar a regra da cadeia):
  • Derivando F(x) = -\dfrac{5}{9}(4-3x^{2})^{3/2}:
F'(x) = -\frac{5}{9}\cdot\frac{3}{2}(4-3x^{2})^{1/2}\cdot(-6x).
  • Simplificando constantes: -\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot(-6x) = 5x. Logo
F'(x)=5x(4-3x^{2})^{1/2},
que coincide com o integrando. Está correto!

Resposta

-\frac{5}{9}\bigl(4-3x^{2}\bigr)^{3/2}+C

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