Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
∫ 5 x \sqrt{4-3 x^{2}} d x
∫ 5 x \sqrt{4-3 x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) da função, isto é, uma expressão que, quando derivada em
, retorna .
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática):
- Quando vemos uma expressão composta como
, costuma ser útil substituir a parte interna por uma nova variável, digamos , para simplificar a integral. - A regra básica: se
, então . Podemos reescrever em termos de e, se tudo der certo, transformar a integral em uma em mais fácil de calcular. - Aqui a parte “complicada” dentro da raiz é
. Então escolhemos a substituição
Passo 3
Calcular
e expressar
em termos de
:
- Diferenciando
em relação a , obtemos
- Isolando
,
Explicação: isso vem de dividir ambos os lados por
.
Passo 4
Reescrever a integral em função de
:
- Escrevemos a integral original como
- Agora substituímos
por e por :
- Fatorando constantes:
Passo 5
Integrar usando a regra da potência (explicação detalhada):
- Regra da potência para integrais: para
,
- Aqui
. Aplicando a regra,
- Substituindo na expressão com a constante:
Passo 6
Simplificar as constantes:
- O fator
é igual a . Então
- Portanto, a primitiva em
é
Passo 7
Voltar à variável
(substituição inversa) e escrever a resposta final:
- Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Verificação rápida por derivação (usar a regra da cadeia):
- Derivando
:
- Simplificando constantes:
. Logo
que coincide com o integrando. Está correto!