Seja
uma função diferenciável que admite o plano de equação
como tangente ao seu gráfico no ponto (
).
(a) Determine
e
, onde
(b) Seja
, onde
Determine
.
(c) Seja
Determine
.
(a) Determine
(b) Seja
(c) Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
- Dado: uma função diferenciável
com o plano de equação
que é tangente ao gráfico de
no ponto
.
- (a) Pedem:
, e com . - (b) Definem
com
e pedem
.
- (c) Definem
e pedem
.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Relacionando o plano tangente com a linearização de
.
- Lembrete (aula rápida): se
é diferenciável em , a equação do plano tangente em pode ser escrita como
Aqui
e
são as derivadas parciais em
e representam a inclinação do gráfico nas direções
e
.
- A equação dada do plano é
Isolando
obtemos uma expressão linear em
: dividir por
,
Este é o mesmo plano tangente, escrito na forma
(uma função afim de
).
Passo 3
Determinar
comparando as constantes.
- Avaliando a expressão do plano em
obtemos o valor de naquele ponto (que é ):
Passo 4
Determinar
pela comparação de coeficientes.
- A expressão do plano como função afim é
. - Comparando com a forma do plano tangente
vemos que os coeficientes das variações em
e
são
e
.
- Logo
(Explicação didática:
é a taxa de variação de
quando
muda mantendo
fixo; no plano afim o coeficiente linear de
é
, daí
. Mesmo raciocínio para
.)
Passo 5
Calcular a derivada direcional
em direção a
.
- Lembrete (aula rápida): a derivada direcional de
em direção a um vetor é dada por
onde
é o vetor unitário na direção de
:
.
- Primeiro normalizamos
. O módulo de é
Portanto o vetor unitário é
.
- Fazendo o produto escalar com o gradiente que já achamos,
Passo 6
Resolver o item (b): calcular
usando a regra da cadeia.
- Lembrete (aula rápida): se
com diferenciável, então
Isso é a aplicação da regra da cadeia para funções compostas — derivada de
ao longo da curva
.
- Calculamos
e e avaliamos em .
Logo
portanto
- Avaliando a regra da cadeia em
:
- Observando os argumentos em
: pela definição dos temos e (no ponto considerado de tangência) usamos os valores de e obtidos em . Usando esses valores e os calculados,
- Substituindo
,
Passo 7
Resolver o item (c): calcular
para
- Vamos definir uma função intermediária
onde
Então
. Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
- Calculamos
:
portanto
- Agora
. Pela regra da cadeia para ,
Calcule as derivadas das componentes em
:
Usando
e
,
- Agora
:
Com
Então
- Finalmente as derivadas de
em :
Portanto