Resp.:
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:\n
Temos a equação diferencial
Temos a equação diferencial
O que é pedido:\n
Encontrar a solução geral implícita (ou uma relação implícita entre
e
) que satisfaça essa equação.\n
Observações imediatas extraídas do enunciado:\n
Encontrar a solução geral implícita
Observações imediatas extraídas do enunciado:\n
- A equação contém a função trigonométrica
(mesma coisa que ).\n - Aparece
, portanto devemos ter no domínio da solução.
Passo 2
Reescrever a equação isolando o termo que envolve a derivada para facilitar manipulação algebraica. Começamos com
Colocando o termo com a derivada à direita obtemos
Aqui só realocamos termos (subtraímos/ somamos conforme necessário) — nada de integração ainda.
Passo 3
Interpretar
e preparar separação de variáveis. Lembre que
mas antes de substituir, multiplicamos ambos os lados por
para escrever a equação em forma de diferenciais:
Esse é um passo-chave: passamos de uma equação com
para uma forma que já mostra como separar as variáveis
e
.
Passo 4
Explicar por que podemos usar separação de variáveis e aplicá-la: a equação já está escrita como uma função só de
multiplicando
igual a uma função só de
multiplicando
. Isso permite integrar ambos os lados em suas respectivas variáveis. Escrevemos:
Aqui usamos a propriedade de separação: podemos integrar cada lado independentemente porque a variável
aparece apenas no integrando da esquerda e
apenas na direita.
Passo 5
Calcular a integral do lado esquerdo. Use a identidade
e uma substituição simples. Seja
. Então
. Reescrevendo
Portanto
Expliquei a substituição passo a passo: escolhemos
porque o numerador
é essencialmente o diferencial de
com sinal negativo.
Passo 6
Calcular a integral do lado direito e igualar resultados. Temos
Igualando as duas primitivas (e incorporando constantes):
Podemos juntar as constantes num único
. Subtraindo
dos dois lados e definindo
obtemos
Passo 7
Manipular logaritmos e constantes para chegar à forma final. Multiplicando por
,
Escrevendo
como uma nova constante
e usando propriedades dos logaritmos:
Agora exponenciamos ambos os lados: existe uma constante positiva
tal que
Multiplicando por
(lembrando que
) e absorvendo sinais em uma constante arbitrária
que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero), obtemos a forma mais simples e usual da solução implícita:
onde
é constante arbitrária real. Essa expressão representa a família de curvas solução da equação diferencial dada.