\frac{1}{x}-\operatorname{tg} y \cdot \frac{d y}{d x}=0
Resp.: x \cos y=C

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:\n
Temos a equação diferencial
\frac{1}{x}-\operatorname{tg} y\cdot\frac{dy}{dx}=0.
O que é pedido:\n
Encontrar a solução geral implícita y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) que satisfaça essa equação.\n
Observações imediatas extraídas do enunciado:\n
  • A equação contém a função trigonométrica \operatorname{tg}y (mesma coisa que \tan y).\n
  • Aparece \frac{1}{x}, portanto devemos ter x\neq 0 no domínio da solução.

Passo 2

Reescrever a equação isolando o termo que envolve a derivada para facilitar manipulação algebraica. Começamos com
\frac{1}{x}-\operatorname{tg} y\cdot\frac{dy}{dx}=0.
Colocando o termo com a derivada à direita obtemos
\operatorname{tg} y\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Aqui só realocamos termos (subtraímos/ somamos conforme necessário) — nada de integração ainda.

Passo 3

Interpretar \operatorname{tg}y e preparar separação de variáveis. Lembre que
\operatorname{tg}y=\tan y=\frac{\sin y}{\cos y},
mas antes de substituir, multiplicamos ambos os lados por dx para escrever a equação em forma de diferenciais:
\operatorname{tg} y\,dy=\frac{dx}{x}.
Esse é um passo-chave: passamos de uma equação com \frac{dy}{dx} para uma forma que já mostra como separar as variáveis x e y.

Passo 4

Explicar por que podemos usar separação de variáveis e aplicá-la: a equação já está escrita como uma função só de y multiplicando dy igual a uma função só de x multiplicando dx. Isso permite integrar ambos os lados em suas respectivas variáveis. Escrevemos:
\int \operatorname{tg} y\,dy=\int \frac{dx}{x}.
Aqui usamos a propriedade de separação: podemos integrar cada lado independentemente porque a variável y aparece apenas no integrando da esquerda e x apenas na direita.

Passo 5

Calcular a integral do lado esquerdo. Use a identidade \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y} e uma substituição simples. Seja u=\cos y. Então du=-\sin y\,dy. Reescrevendo
\operatorname{tg} y\,dy=\frac{\sin y}{\cos y}\,dy=\frac{-du}{u}.
Portanto
\int \operatorname{tg} y\,dy=\int \frac{-du}{u}=-\ln|u|+C_1=-\ln|\cos y|+C_1.
Expliquei a substituição passo a passo: escolhemos u=\cos y porque o numerador \sin y\,dy é essencialmente o diferencial de \cos y com sinal negativo.

Passo 6

Calcular a integral do lado direito e igualar resultados. Temos
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando as duas primitivas (e incorporando constantes):
-\ln|\cos y|+C_1=\ln|x|+C_2.
Podemos juntar as constantes num único C. Subtraindo C_1 dos dois lados e definindo C=C_2-C_1 obtemos
-\ln|\cos y|=\ln|x|+C.

Passo 7

Manipular logaritmos e constantes para chegar à forma final. Multiplicando por -1,
\ln|\cos y|=-\ln|x|-C.
Escrevendo -C como uma nova constante C' e usando propriedades dos logaritmos:
\ln|\cos y|=\ln\left(|x|^{-1}\right)+C'.
Agora exponenciamos ambos os lados: existe uma constante positiva K=e^{C'} tal que
|\cos y|=K\cdot|x|^{-1}.
Multiplicando por x (lembrando que x\neq 0) e absorvendo sinais em uma constante arbitrária C que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero), obtemos a forma mais simples e usual da solução implícita:
x\cos y=C,
onde C é constante arbitrária real. Essa expressão representa a família de curvas solução da equação diferencial dada.

Resposta

x\cos y=C

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