Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição. \int \frac{2 \operatorname{sen} x-5 \cos x}{\cos x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x}\,dx
usando o método da substituição. O conteúdo aqui é integral de funções trigonométricas, em que podemos simplificar o integrando e depois usar substituição em uma das parcelas.
Passo 2
Primeiro, separamos a fração em duas parcelas:
\frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{sen} x}{\cos x} - \frac{5\cos x}{\cos x} = 2\tan x - 5.
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\int \frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x}\,dx = \int \bigl(2\tan x - 5\bigr)\,dx = 2\int \tan x\,dx \;-\; 5\int dx.
Passo 3
Para calcular 2\int \tan x\,dx, escolhemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\operatorname{sen} x\,dx \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen} x\,dx = -du.