Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int \frac{2 \operatorname{sen} x-5 \cos x}{\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x}\,dx
usando o método da substituição. O conteúdo aqui é integral de funções trigonométricas, em que podemos simplificar o integrando e depois usar substituição em uma das parcelas.

Passo 2

Primeiro, separamos a fração em duas parcelas:
\frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{sen} x}{\cos x} - \frac{5\cos x}{\cos x} = 2\tan x - 5.
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\int \frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x}\,dx = \int \bigl(2\tan x - 5\bigr)\,dx = 2\int \tan x\,dx \;-\; 5\int dx.

Passo 3

Para calcular 2\int \tan x\,dx, escolhemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\operatorname{sen} x\,dx \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen} x\,dx = -du.
Observando que
\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x},
temos
\int \tan x\,dx = \int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
Substituindo u=\cos x, fica
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl\lvert \cos x\bigr\rvert + C.

Passo 4

Agora voltamos ao nosso integral original:
2\int \tan x\,dx = 2\bigl(-\ln\lvert \cos x\rvert\bigr) = -2\ln\lvert \cos x\rvert,
e
-5\int dx = -5x.

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos:
\int \frac{2\operatorname{sen} x - 5\cos x}{\cos x}\,dx = -2\ln\bigl\lvert \cos x\bigr\rvert \;-\; 5x \;+\; C.

Resposta

-2\ln\bigl\lvert \cos x\bigr\rvert \;-\; 5x \;+\; C

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