Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int (2x^{2}+2x-3)^{10}(2x+1)\,dx
e pede para usar o método da substituição de variáveis, que consiste em identificar uma parte interna da função cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x^{2}+2x-3.
Derivando, temos
\frac{du}{dx} = 4x+2 = 2(2x+1),
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(2x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
\int (2x^{2}+2x-3)^{10}(2x+1)\,dx = \int u^{10}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{10}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva em u. Sabemos que
\int u^{10}\,du = \frac{u^{11}}{11} + C.
Portanto,
\frac{1}{2}\int u^{10}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{22} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2x^{2}+2x-3 para obter
\frac{(2x^{2}+2x-3)^{11}}{22} + C.

Resposta

\frac{(2x^{2}+2x-3)^{11}}{22} + C

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