Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int \frac{4 t d t}{\sqrt{4 t^{2}+5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4\,t\,d t}{\sqrt{4\,t^{2}+5}}
usando o método da substituição. Vamos aproveitar que a expressão sob a raiz é um polinômio em t cuja derivada aparece, em parte, no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4\,t^{2} + 5.
Diferenciando ambos os lados em relação a t, temos
du = 8\,t\,d t \quad\Longrightarrow\quad t\,d t = \frac{du}{8}.
No numerador aparecia 4\,t\,d t, logo
4\,t\,d t = 4\cdot\frac{du}{8} = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{4\,t\,d t}{\sqrt{4\,t^{2}+5}} = \int \frac{\frac{du}{2}}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2}\,\int u^{-\tfrac12}\,du.
Agora integramos usando a regra \int u^{\alpha}du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}:
\frac{1}{2}\,\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = \frac{1}{2}\,\cdot 2\,u^{\tfrac12} = u^{\tfrac12}.

Passo 4

Voltando à variável original t, temos
u^{\tfrac12} = \sqrt{4\,t^{2} + 5}.
Portanto, a antiderivada é
\sqrt{4\,t^{2}+5} + C.

Resposta

\displaystyle \sqrt{4\,t^{2}+5} + C

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