- Se
e
, prove que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência
com
e um real
. Ele pede para mostrar que
Aqui o conteúdo envolve limites de sequência, propriedades do logaritmo e manipulação algébrica (racionalização de diferença de raízes).
Passo 2
Primeiro garantimos que, para
grande, os argumentos dos logaritmos são positivos. Como
, existe
tal que para todo
vale
. Logo
de modo que
e
estão bem definidos e tendem a
.
Passo 3
Aplicamos a identidade de diferença de raízes: para
temos
Passo 4
Observe que
Portanto
Passo 5
Agora analisamos o limite de cada parte:
- Como
, temos e, por continuidade de em ,
- Como
, segue . Logo o denominador
também tende a
.
Assim, numerador tende a 0 e denominador a
, implicando que a fração vai a 0.