1. Se \lim x_{n}=+\infty e a \in \mathbb{R}, prove que
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sqrt{\log \left(x_{n}+a\right)}-\sqrt{\log x_{n}}\right]=0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência \{x_n\} com
\lim_{n\to\infty}x_n = +\infty
e um real a. Ele pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty}\Bigl[\sqrt{\log(x_n+a)}-\sqrt{\log x_n}\Bigr]=0.
Aqui o conteúdo envolve limites de sequência, propriedades do logaritmo e manipulação algébrica (racionalização de diferença de raízes).

Passo 2

Primeiro garantimos que, para n grande, os argumentos dos logaritmos são positivos. Como x_n\to+\infty, existe N tal que para todo n>N vale x_n>|a|. Logo
x_n+a \ge x_n - |a| > 0 \quad\text{e}\quad x_n >0,
de modo que \log(x_n+a) e \log x_n estão bem definidos e tendem a +\infty.

Passo 3

Aplicamos a identidade de diferença de raízes: para
A_n=\log(x_n+a), \quad B_n=\log x_n,
temos
\sqrt{A_n}-\sqrt{B_n} = \frac{A_n - B_n}{\sqrt{A_n} + \sqrt{B_n}}.

Passo 4

Observe que
A_n - B_n = \log(x_n+a) - \log x_n = \log\!\Bigl(\frac{x_n+a}{x_n}\Bigr) = \log\!\bigl(1 + \tfrac{a}{x_n}\bigr).
Portanto
\sqrt{\log(x_n+a)}-\sqrt{\log x_n} = \frac{\log\bigl(1 + \tfrac{a}{x_n}\bigr)} {\sqrt{\log(x_n+a)} + \sqrt{\log x_n}}.

Passo 5

Agora analisamos o limite de cada parte:
  1. Como x_n\to+\infty, temos \tfrac{a}{x_n}\to0 e, por continuidade de \log(1+u) em u=0,
\log\!\bigl(1 + \tfrac{a}{x_n}\bigr)\;\longrightarrow\;0.
  1. Como \log x_n\to+\infty, segue \sqrt{\log x_n}\to+\infty. Logo o denominador
\sqrt{\log(x_n+a)} + \sqrt{\log x_n}
também tende a +\infty.
Assim, numerador tende a 0 e denominador a +\infty, implicando que a fração vai a 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\Bigl[\sqrt{\log(x_n+a)}-\sqrt{\log x_n}\Bigr]=0.

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