A região E é o “casco esférico” entre as esferas de raio 1 e 3.
A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é a distância ao eixo z (projeção radial no plano xy).
Não há outras restrições angulares; a região é completa em torno do eixo z.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e justificativa (sem resolver ainda).
As fronteiras são esferas centradas na origem; isso sugere usar coordenadas esféricas porque as condições sobre a região ficam muito simples (\rho entre constantes).
Em coordenadas esféricas usuais usa-se:
\rho = distância da origem até o ponto,
\varphi = ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar, 0\le\varphi\le\pi),
\theta = ângulo no plano xy (azimutal, 0\le\theta<2\pi).
É importante saber também a fórmula do elemento de volume em esféricas:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\; d\varphi\; d\theta.
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\; dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=1}^{3} \rho^{3}\sin^{2}\varphi \; d\rho\; d\varphi\; d\theta.
Passo 5
Justificar e escrever os limites de integração.
\rho varia entre as esferas internas e externas: 1\le\rho\le 3.
\varphi varia sobre todo o intervalo polar porque a casca é completa: 0\le\varphi\le\pi.
\theta percorre todo o círculo azimutal: 0\le\theta\le 2\pi.
Portanto o triplo integral separa-se naturalmente porque o integrando fatoriza em função de \rho e \varphi.
Passo 6
Separar a integral em três integrais simples (produto de integrais).