Calcular a integral abaixo, onde E está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\; dV,
onde E é a região do espaço limitada pelas esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Informações relevantes dadas:
  • A região E é o “casco esférico” entre as esferas de raio 1 e 3.
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é a distância ao eixo z (projeção radial no plano xy).
  • Não há outras restrições angulares; a região é completa em torno do eixo z.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e justificativa (sem resolver ainda).
  • As fronteiras são esferas centradas na origem; isso sugere usar coordenadas esféricas porque as condições sobre a região ficam muito simples ( \rho entre constantes).
  • Em coordenadas esféricas usuais usa-se:
    • \rho = distância da origem até o ponto,
    • \varphi = ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar, 0\le\varphi\le\pi),
    • \theta = ângulo no plano xy (azimutal, 0\le\theta<2\pi).
  • É importante saber também a fórmula do elemento de volume em esféricas:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\; d\varphi\; d\theta.
Vou explicar cada símbolo quando aparecer.

Passo 3

Expressar o integrando em coordenadas esféricas.
  • Em esféricas, as coordenadas cartesianas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • A quantidade \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância ao eixo z, que corresponde à componente radial no plano xy. Substituindo:
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \rho\sin\varphi.
Explicação rápida: \rho\sin\varphi é a projeção de \rho no plano xy.

Passo 4

Montar o integrando completo multiplicando pelo elemento de volume.
  • Temos integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \rho\sin\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\; d\varphi\; d\theta.
  • O produto é
\big(\rho\sin\varphi\big)\big(\rho^{2}\sin\varphi\big)=\rho^{3}\sin^{2}\varphi.
Logo a integral fica
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\; dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=1}^{3} \rho^{3}\sin^{2}\varphi \; d\rho\; d\varphi\; d\theta.

Passo 5

Justificar e escrever os limites de integração.
  • \rho varia entre as esferas internas e externas: 1\le\rho\le 3.
  • \varphi varia sobre todo o intervalo polar porque a casca é completa: 0\le\varphi\le\pi.
  • \theta percorre todo o círculo azimutal: 0\le\theta\le 2\pi.
    Portanto o triplo integral separa-se naturalmente porque o integrando fatoriza em função de \rho e \varphi.

Passo 6

Separar a integral em três integrais simples (produto de integrais).
\int_{0}^{2\pi} d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{\pi} \sin^{2}\varphi \; d\varphi \;\cdot\; \int_{1}^{3} \rho^{3}\; d\rho.
Vou calcular cada uma por vez.

Passo 7

Calcular a integral em \theta.
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Isto é só o comprimento do intervalo angular completo.

Passo 8

Calcular a integral em \rho.
  • A primitiva de \rho^{3} é \tfrac{1}{4}\rho^{4}.
\int_{1}^{3} \rho^{3}\; d\rho = \left.\frac{1}{4}\rho^{4}\right|_{1}^{3} = \frac{1}{4}\big(3^{4}-1^{4}\big) = \frac{1}{4}\big(81-1\big) = \frac{80}{4} =20.

Passo 9

Calcular a integral em \varphi de \sin^{2}\varphi.
  • Usa-se a identidade trigonométrica
\sin^{2}\varphi = \frac{1-\cos(2\varphi)}{2}.
  • Integrando de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\varphi\; d\varphi = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\; d\varphi = \frac{1}{2}\left[\varphi - \frac{\sin(2\varphi)}{2}\right]_{0}^{\pi}.
  • Avaliando os termos: \sin(2\varphi) vale 0 em 0 e em \pi, então só fica
\frac{1}{2}\big(\pi-0\big)=\frac{\pi}{2}.

Passo 10

Multiplicar os resultados parciais para obter o valor final da integral.
  • Produto das três integrais:
\left(2\pi\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(20\right) = 20\pi^{2}.
Portanto o valor da integral sobre E é 20\pi^{2}.

Resposta

\,20\pi^{2}

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