Questão 1. (2,5 pontos). Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Mais especificamente:
- Calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é indefinida (ou seja, vamos encontrar uma primitiva e acrescentar a constante de integração).
- O integrando é a soma de duas funções:
e .
A resolução vai começar a partir destas informações.
Passo 2
Usar a propriedade de linearidade da integral. Essa propriedade diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
Aplicando isso ao nosso caso:
Explico rápido por que isso vale: a operação de derivar é linear (derivada de soma = soma das derivadas), e primitiva é operação inversa; assim a linearidade passa para as integrais.
Passo 3
Calcular
.
- Lembrete básico: a derivada de
é . - Portanto, uma primitiva de
é , porque ao derivar obtém-se .
Logo,
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Calcular
.
- Lembrete básico: a derivada de
é . - Assim,
é sua própria primitiva.
Logo,
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Somar as primitivas obtidas e fundir as constantes. Pelas etapas anteriores:
Como
é apenas outra constante arbitrária, chamamos de
. Portanto:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checar sempre que puder na prova): calcular a derivada de
:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica de prova: memorize que
e
, e sempre use a linearidade para somas. Na hora da prova, faça a verificação rápida por diferenciação se estiver inseguro — dá poucos segundos e evita erro.