Questão 1. (2,5 pontos). Calcule as integrais:
\int\left(\sin (x)+e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Mais especificamente:
  • Calcular \int\left(\sin(x)+e^{x}\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é indefinida (ou seja, vamos encontrar uma primitiva e acrescentar a constante de integração).
  • O integrando é a soma de duas funções: \sin(x) e e^{x}.
    A resolução vai começar a partir destas informações.

Passo 2

Usar a propriedade de linearidade da integral. Essa propriedade diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso:
\int\big(\sin(x)+e^{x}\big)\,dx=\int\sin(x)\,dx+\int e^{x}\,dx.
Explico rápido por que isso vale: a operação de derivar é linear (derivada de soma = soma das derivadas), e primitiva é operação inversa; assim a linearidade passa para as integrais.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int\sin(x)\,dx.
  • Lembrete básico: a derivada de \cos(x) é \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • Portanto, uma primitiva de \sin(x) é -\cos(x), porque ao derivar -\cos(x) obtém-se \sin(x).
    Logo,
\int\sin(x)\,dx=-\cos(x)+C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int e^{x}\,dx.
  • Lembrete básico: a derivada de e^{x} é \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Assim, e^{x} é sua própria primitiva.
    Logo,
\int e^{x}\,dx=e^{x}+C_2,
onde C_2 é uma constante de integração.

Passo 5

Somar as primitivas obtidas e fundir as constantes. Pelas etapas anteriores:
\int\big(\sin(x)+e^{x}\big)\,dx = \big(-\cos(x)+C_1\big)+\big(e^{x}+C_2\big).
Como C_1+C_2 é apenas outra constante arbitrária, chamamos de C. Portanto:
\int\big(\sin(x)+e^{x}\big)\,dx = -\cos(x)+e^{x}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checar sempre que puder na prova): calcular a derivada de -\cos(x)+e^{x}+C:
\frac{d}{dx}\big(-\cos(x)+e^{x}+C\big)= -\big(-\sin(x)\big)+e^{x}+0=\sin(x)+e^{x},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica de prova: memorize que \int\sin(x)\,dx=-\cos(x)+C e \int e^{x}\,dx=e^{x}+C, e sempre use a linearidade para somas. Na hora da prova, faça a verificação rápida por diferenciação se estiver inseguro — dá poucos segundos e evita erro.

Resposta

-\cos(x)+e^{x}+C

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