Questão 1. (2,5 pontos). Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é o polinômio
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
Essa é uma integral definida de uma função contínua em.
Passo 2
Conceito e estratégia rápida (sem avançar na conta ainda):
- Uma integral definida
pode ser interpretada como a área algébrica sob a curva de entre e . - O teorema fundamental do cálculo diz que, se
é uma primitiva (antiderivada) de — isto é, — então
- Logo, o plano é achar uma primitiva
de e calcular .
Passo 3
Regras de integração que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade:
e para constante .
Isso permite integrar termo a termo no polinômio. - Regra da potência (power rule): para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é um número (por exemplo
ou
), e
é a variável.
Passo 4
Aplicando linearidade ao integrando
:
Agora usamos a regra da potência termo a termo:
-
. -
.
Multiplicando pelos fatores constantes:
Passo 5
Portanto uma primitiva (antiderivada)
de
é
Para a integral definida não precisamos da constante
; usaremos
.
Passo 6
Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Calculando
e
: