Questão 1. (2,5 pontos). Calcule as integrais:
\int_{0}^{3}\left(3 x^{2}-4 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\left(3x^{2}-4x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é o polinômio 3x^{2}-4x.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 3 (superior).
    Essa é uma integral definida de uma função contínua em [0,3].

Passo 2

Conceito e estratégia rápida (sem avançar na conta ainda):
  • Uma integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx pode ser interpretada como a área algébrica sob a curva de f entre x=a e x=b.
  • O teorema fundamental do cálculo diz que, se F é uma primitiva (antiderivada) de f — isto é, F'(x)=f(x) — então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Logo, o plano é achar uma primitiva F(x) de f(x)=3x^{2}-4x e calcular F(3)-F(0).

Passo 3

Regras de integração que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: \displaystyle\int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx e \displaystyle\int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx para constante c.
    Isso permite integrar termo a termo no polinômio.
  • Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é um número (por exemplo 2 ou 1), e x é a variável.

Passo 4

Aplicando linearidade ao integrando \;3x^{2}-4x\;:
\int (3x^{2}-4x)\,dx = 3\int x^{2}\,dx - 4\int x\,dx.
Agora usamos a regra da potência termo a termo:
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
  • \displaystyle\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Multiplicando pelos fatores constantes:
3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}, \qquad -4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2}.

Passo 5

Portanto uma primitiva (antiderivada) F(x) de f(x)=3x^{2}-4x é
F(x)=x^{3}-2x^{2}+C.
Para a integral definida não precisamos da constante C; usaremos F(x)=x^{3}-2x^{2}.

Passo 6

Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{3}\left(3x^{2}-4x\right)\,dx = F(3)-F(0).
Calculando F(3) e F(0):
F(3)=3^{3}-2\cdot 3^{2}=27-2\cdot9=27-18=9,
F(0)=0^{3}-2\cdot0^{2}=0.

Resposta

9

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