Calcular a integral dupla usando coordenadas polares: \iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é a região que fica entre os círculos x^{2}+y^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde D é a região interior do círculo \,x^{2}+y^{2}=4 (ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem). Dados e pedido:
Região D: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Integrando: a função \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.
Passo 2
Troca para coordenadas polares. Lembre-se:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta o ângulo polar. Para o disco de raio 2 temos os limites
(essa simplificação é válida para r\neq0; no ponto r=0 o integrando é limitante e não causa problema no valor da integral). Assim a integral passa a ser