Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é a região que fica entre os círculos x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde D é a região interior do círculo \,x^{2}+y^{2}=4 (ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem). Dados e pedido:
  • Região D: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Integrando: a função \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Troca para coordenadas polares. Lembre-se:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta o ângulo polar. Para o disco de raio 2 temos os limites
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Transformar o integrando em polares. Calcula-se
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}}=\sin^{2}\theta
(essa simplificação é válida para r\neq0; no ponto r=0 o integrando é limitante e não causa problema no valor da integral). Assim a integral passa a ser
\iint_{D}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\sin^{2}\theta\; r\,dr\,d\theta.

Passo 4

A integranda é produto de uma função de \theta por uma função de r, logo a integral se separa:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\sin^{2}\theta\; r\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r\,dr\right).
Isto simplifica o cálculo em duas integrais unidimensionais.

Passo 5

Calcular a integral radial:
\int_{0}^{2} r\,dr = \left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 4 = 2.

Passo 6

Calcular a integral angular. Use a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira integral vale \frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem média zero em um período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = \left.\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right|_{0}^{2\pi}=0.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 7

Multiplicando os resultados das duas integrais:
\iint_{D}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r\,dr\right) = \pi \cdot 2 = 2\pi.

Resposta

2\pi

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