Exercício 2. Calcular as seguintes integrais iteradas. Desenhar também os domínios de integração. \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\cos x} y d y d x.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos x} y\,dy\,dx.
Desenhar (ou descrever como desenhar) o domínio de integração.
As informações dadas são:
A variável x varia entre 0 e \pi/2.
Para cada x fixo, y varia desde 0 até \cos x.
O integrando é y.
Passo 2
Interpretando a integral por partes: primeiro integramos em y (a integral interna) e depois em x (a integral externa). A integral interna é
\int_{0}^{\cos x} y\,dy.
Aqui usamos a primitiva básica de y: uma primitiva de y em relação a y é \dfrac{1}{2}y^{2}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando entre as extremidades 0 e \cos x obtemos
y=\cos x (a curva que no intervalo x\in[0,\pi/2] vai de (0,1) até (\pi/2,0));
as retas verticais x=0 e x=\pi/2.
Como desenhar passo a passo:
Desenhar um sistema de eixos cartesianos com x horizontal e y vertical.
Marcar no eixo x o ponto x=\tfrac{\pi}{2}.
Marcar no eixo y o ponto y=1.
Desenhar a curva y=\cos x entre x=0 (onde y=1) e x=\tfrac{\pi}{2} (onde y=0); é uma curva decrescente.
Sombrear a região abaixo da curva y=\cos x, acima de y=0, entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}. Esse é o domínio D.
Passo 6
(Método alternativo: trocar a ordem de integração — explicação rápida.)
Observa-se que, projetando D no eixo y, y varia de 0 até 1 (porque \cos x atinge 1 em x=0 e 0 em x=\pi/2). Para um y fixo em [0,1], as condições do domínio implicam 0\le x\le \operatorname{arccos} y. Assim a integral com ordem trocada é
Fazendo a integral interna em x obtém-se \int_{0}^{1} y\cdot \operatorname{arccos} y\,dy, que é equivalente (devido à mudança de variável y=\cos x) ao cálculo anterior e dá o mesmo resultado \pi/8. (Esse caminho costuma ser mais trabalhoso algebraicamente, por isso a ordem original foi a mais direta.)