Exercício 2. Calcular as seguintes integrais iteradas. Desenhar também os domínios de integração.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\cos x} y d y d x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos x} y\,dy\,dx.
  • Desenhar (ou descrever como desenhar) o domínio de integração.
As informações dadas são:
  • A variável x varia entre 0 e \pi/2.
  • Para cada x fixo, y varia desde 0 até \cos x.
  • O integrando é y.

Passo 2

Interpretando a integral por partes: primeiro integramos em y (a integral interna) e depois em x (a integral externa). A integral interna é
\int_{0}^{\cos x} y\,dy.
Aqui usamos a primitiva básica de y: uma primitiva de y em relação a y é \dfrac{1}{2}y^{2}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando entre as extremidades 0 e \cos x obtemos
\int_{0}^{\cos x} y\,dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{0}^{\cos x} = \frac{1}{2}\big(\cos x\big)^{2} - \frac{1}{2}\cdot 0^{2} = \frac{1}{2}\cos^{2}x.

Passo 3

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos x} y\,dy\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}\cos^{2}x \,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}x \,dx.
Para integrar \cos^{2}x usamos a identidade trigonométrica de redução:
\cos^{2}x = \frac{1+\cos(2x)}{2}.
Esta identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo e é útil porque transforma o quadrado num soma de funções mais fáceis de integrar.

Passo 4

Aplicando a identidade:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}x \,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\big(1+\cos(2x)\big)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Temos
\int_{0}^{\pi/2} 1 \,dx = \left. x\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2},
e
\int_{0}^{\pi/2}\cos(2x)\,dx = \left.\frac{1}{2}\sin(2x)\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\big(\sin(\pi)-\sin 0\big) = \frac{1}{2}(0-0)=0.
Portanto
\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\big(1+\cos(2x)\big)\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\cdot 0 = \frac{\pi}{8}.

Passo 5

Interpretação geométrica e desenho do domínio de integração D.
  • O domínio é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\\ 0\le y\le \cos x\}.
  • As curvas que limitam D são:
    • y=0 (eixo x);
    • y=\cos x (a curva que no intervalo x\in[0,\pi/2] vai de (0,1) até (\pi/2,0));
    • as retas verticais x=0 e x=\pi/2.
Como desenhar passo a passo:
  1. Desenhar um sistema de eixos cartesianos com x horizontal e y vertical.
  2. Marcar no eixo x o ponto x=\tfrac{\pi}{2}.
  3. Marcar no eixo y o ponto y=1.
  4. Desenhar a curva y=\cos x entre x=0 (onde y=1) e x=\tfrac{\pi}{2} (onde y=0); é uma curva decrescente.
  5. Sombrear a região abaixo da curva y=\cos x, acima de y=0, entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}. Esse é o domínio D.

Passo 6

(Método alternativo: trocar a ordem de integração — explicação rápida.)
  • Observa-se que, projetando D no eixo y, y varia de 0 até 1 (porque \cos x atinge 1 em x=0 e 0 em x=\pi/2). Para um y fixo em [0,1], as condições do domínio implicam 0\le x\le \operatorname{arccos} y. Assim a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\operatorname{arccos} y} y\,dx\,dy.
Fazendo a integral interna em x obtém-se \int_{0}^{1} y\cdot \operatorname{arccos} y\,dy, que é equivalente (devido à mudança de variável y=\cos x) ao cálculo anterior e dá o mesmo resultado \pi/8. (Esse caminho costuma ser mais trabalhoso algebraicamente, por isso a ordem original foi a mais direta.)

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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