Um número n \in \mathbb{N} diz-se par se, e somente se, existe k \in \mathbb{N} tal que n=2 k; diz-se que que n é impar se, e somente se, n+1 é par.
(a) Mostre que 2 é par e 1 é ímpar;
(b) Mostre que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo;
(c) Mostre que o quadrado de um número par é sempre par e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar;

Passo 1

O enunciado dá as definições seguintes:
  • Um número n\in\mathbb{N} é par se, e somente se, existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k.
  • Um número n\in\mathbb{N} é ímpar se, e somente se, n+1 é par.
As perguntas pedidas são:
(a) Mostrar que 2 é par e 1 é ímpar.
(b) Mostrar que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
(c) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre par e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.
Dados relevantes: as definições acima (paridade expressa por existência de um k tal que n=2k e ímpar via n+1 par). Não há mais informação a ser usada aqui.

Passo 2

(a) Mostrar que 2 é par.
Pelo enunciado, para provar que 2 é par basta encontrar k\in\mathbb{N} tal que 2=2k.
Tomemos k=1. Então
2 = 2\cdot 1.
Como 1\in\mathbb{N}, existe k\in\mathbb{N} com 2=2k. Portanto, pela definição, 2 é par.

Passo 3

(a) (continuação) Mostrar que 1 é ímpar.
Pela definição de ímpar, 1 será ímpar se 1+1 for par. Calculamos
1+1=2.
No Passo 2 já demonstramos que 2 é par. Logo 1+1 é par, e pela definição dada 1 é ímpar.

Passo 4

(b) Mostrar que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo (prova por contradição).
Suponha, para obter contradição, que exista n\in\mathbb{N} que seja simultaneamente par e ímpar. Então:
  • por ser par, existe k\in\mathbb{N} tal que
n=2k;
  • por ser ímpar, n+1 é par, então existe m\in\mathbb{N} tal que
n+1=2m.
Subtraindo a primeira igualdade da segunda temos
(n+1)-n = 2m - 2k.
O lado esquerdo é 1; o lado direito é 2(m-k). Portanto
1 = 2(m-k).
Mas 2(m-k) é um número par (é múltiplo de 2), enquanto 1 é ímpar. Não existe inteiro t tal que 1=2t. Assim chegamos a uma contradição. Logo não existe n\in\mathbb{N} que seja ao mesmo tempo par e ímpar.

Passo 5

(c) Mostrar que o quadrado de um número par é par.
Se n é par então, por definição, existe k\in\mathbb{N} com
n=2k.
Calculemos o quadrado:
n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2\bigl(2k^2\bigr).
Como 2k^2 é um número natural, escrevemos n^2 = 2K com K=2k^2\in\mathbb{N}. Assim n^2 tem a forma 2 vezes um natural, portanto, pela definição, n^2 é par. Isso prova que o quadrado de um número par é sempre par.

Passo 6

(c) Mostrar que o quadrado de um número ímpar é ímpar.
Começamos com a definição dada para ímpar: se n é ímpar então n+1 é par, ou seja, existe k\in\mathbb{N} tal que
n+1 = 2k.
Reescrevendo, n = 2k-1. Agora elevamos ao quadrado:
n^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1.
Agrupando os primeiros dois termos:
n^2 = 2\bigl(2k^2 - 2k\bigr) + 1.
Defina M = 2k^2 - 2k; como k\in\mathbb{N}, tem-se M\in\mathbb{N}. Então
n^2 = 2M + 1.
Isto mostra que n^2 é um número da forma "um número par mais 1". Pela definição equivalente (ou observação direta), isso implica que n^2+1 = 2(M+1) é par, portanto n^2 é ímpar segundo a definição do enunciado (porque (n^2)+1 é par). Logo o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.

Resposta

(a) 2 é par; 1 é ímpar.
(b) Um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
(c) O quadrado de um número par é sempre par; o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.

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