Um número
diz-se par se, e somente se, existe
tal que
; diz-se que que
é impar se, e somente se,
é par.
(a) Mostre que 2 é par e 1 é ímpar;
(b) Mostre que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo;
(c) Mostre que o quadrado de um número par é sempre par e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar;
(a) Mostre que 2 é par e 1 é ímpar;
(b) Mostre que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo;
(c) Mostre que o quadrado de um número par é sempre par e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar;
Passo 1
O enunciado dá as definições seguintes:
- Um número
é par se, e somente se, existe tal que . - Um número
é ímpar se, e somente se, é par.
As perguntas pedidas são:
(a) Mostrar que é par e
é ímpar.
(b) Mostrar que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
(c) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre par e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
(c) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre par e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.
Dados relevantes: as definições acima (paridade expressa por existência de um
tal que
e ímpar via
par). Não há mais informação a ser usada aqui.
Passo 2
(a) Mostrar que
é par.
Pelo enunciado, para provar que
é par basta encontrar
tal que
.
Tomemos
. Então
Como
, existe
com
. Portanto, pela definição,
é par.
Passo 3
(a) (continuação) Mostrar que
é ímpar.
Pela definição de ímpar,
será ímpar se
for par. Calculamos
No Passo 2 já demonstramos que
é par. Logo
é par, e pela definição dada
é ímpar.
Passo 4
(b) Mostrar que um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo (prova por contradição).
Suponha, para obter contradição, que exista
que seja simultaneamente par e ímpar. Então:
- por ser par, existe
tal que
- por ser ímpar,
é par, então existe tal que
Subtraindo a primeira igualdade da segunda temos
O lado esquerdo é
; o lado direito é
. Portanto
Mas
é um número par (é múltiplo de
), enquanto
é ímpar. Não existe inteiro
tal que
. Assim chegamos a uma contradição. Logo não existe
que seja ao mesmo tempo par e ímpar.
Passo 5
(c) Mostrar que o quadrado de um número par é par.
Se
é par então, por definição, existe
com
Calculemos o quadrado:
Como
é um número natural, escrevemos
com
. Assim
tem a forma
vezes um natural, portanto, pela definição,
é par. Isso prova que o quadrado de um número par é sempre par.
Passo 6
(c) Mostrar que o quadrado de um número ímpar é ímpar.
Começamos com a definição dada para ímpar: se
é ímpar então
é par, ou seja, existe
tal que
Reescrevendo,
. Agora elevamos ao quadrado:
Agrupando os primeiros dois termos:
Defina
; como
, tem-se
. Então
Isto mostra que
é um número da forma "um número par mais
". Pela definição equivalente (ou observação direta), isso implica que
é par, portanto
é ímpar segundo a definição do enunciado (porque
é par). Logo o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.
Resposta
(a)
é par;
é ímpar.
(b) Um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
(c) O quadrado de um número par é sempre par; o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.
(b) Um número natural não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
(c) O quadrado de um número par é sempre par; o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar.