Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que:
f(x, y)=x e^x y R=(x, y) mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= 1;

Passo 1

Tranquilo, vamos recortar o que a pergunta pede: queremos calcular a integral dupla
integral duplaR f(x,y),dx,dy,
sendo e .
Conteúdo: integração dupla em um retângulo, usando o Teorema de Fubini (podemos integrar em primeiro e depois em ).
O que vamos precisar:
  • Entender que numa região retangular troca a dupla integral por iteradas.
  • Saber integrar exponencial em (tratar como constante).
  • Depois integrar a expressão resultante em .

Passo 2

Aplicar Fubini e fazer a integral interna em integraly=0^1 x e^xy,dy :
integral0^1 x e^xy,dy = x integral0^1 e^xy,dy
Aqui x cdot [e^xyx]y=0^y=1 = l[e^xyr]0^1 = e^xcdot1 - e^xcdot0 = e^x - 1 é constante, então
Para , usamos .
Logo, com :

Passo 3

Agora sobra a integral em integral1^3 (e^x - 1),dx = integral1^3 e^x,dx ;-;integral1^3 1,dx de l[e^xr]1^3 ;-;l[xr]1^3 = (e^3 - e^1) ;-; (3 - 1) = e^3 - e - 2 , de até :
Sabendo que e , temos:

Resposta

integral duplaR x e^xy,dx,dy = e^3 - e - 2

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