Classifique os sistemas a seguir quanto à linearidade, invariância no tempo, estabilidade, memória e causalidade. Justifique bem suas respostas.
(1,5) y(t)=x(-t2)+x(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar o sistema

e dizer se ele é linear, invariante no tempo, estável, com memória e causal.
Matéria: sinais e sistemas – classificação de sistemas.
O que vamos precisar:
  1. Definição de linearidade (superposição).
  2. Definição de invariância ao tempo (se um atraso na entrada causa o mesmo atraso na saída).
  3. Critério de estabilidade BIBO (entrada limitada → saída limitada).
  4. Conceito de memória (depende só de ou de outros instantes?).
  5. Critério de causalidade (não depende de valores futuros de ).

Passo 2

Linearidade
Definição: um sistema T[a,x1(t) + b,x2(t)] ;=; a,T[x1(t)] ;+; b,T[x2(t)] é linear se para quaisquer sinais y(t)=T[x(t)] = (a,x1 + b,x2)l(-tfract2r) + (a,x1 + b,x2)(t-3) e escalares a,x1(-tfract2) + b,x2(-tfract2) ;+; a,x1(t-3) + b,x2(t-3) = a,T[x1(t)] + b,T[x2(t)] valem

No nosso caso, suponha entrada . Então

Isso dá
\[
a,x_1(-\tfrac{t}{2}) + b,x_2(-\tfrac{t}{2})
;+;
a,x_1(t-3) + b,x_2(t-3)

a,T[x_1(t)] + b,T[x_2(t)].
\]
Então é linear.

Passo 3

Invariância no tempo
Definição: se atrasar a entrada em T[x'](t) = x'l(-tfract2r) + x'(t-3) = xl(-tfract2-(-t0?)r)+dots , a saída deve atrasar do mesmo jeito.
  1. Entrada atrasada: y(t-t0) = xl(-tfrac(t-t0)2r) + xl((t-t0)-3r) = xl(-tfract2+tfract02r) + x(t - t0 - 3) .
  2. Saída correspondente:
Melhor escrever direitinho:
Tx(t-t_0)
= x\bigl(-(t)/2 - (-t_0)?\bigr) + x\bigl((t-t_0)-3\bigr)
= x\bigl(-\tfrac{t}{2} + \tfrac{t_0}{2}\bigr) + x(t - t_0 - 3).
Agora, pegue a saída original e atrase em :
Como deu exatamente a mesma expressão, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Estabilidade (BIBO)
Critério: se |y(t)| = l|x(-tfract2) + x(t-3)r| <= |x(-tfract2)| + |x(t-3)| <= B + B = 2B para todo , então precisa existir tal que .
Aqui
Como é finito, o sistema é estável.

Passo 5

Memória
Um sistema é memória zero (memoryless) se depende só de .
No nosso caso, depende de e , ou seja, de instantes diferentes de .
Logo, tem memória.

Passo 6

Causalidade
Um sistema é causal se, para cada , depende apenas de com .
Aqui o termo usa só passado (ok), mas o termo pode olhar para o futuro.
Por exemplo, em , temos , ou seja, precisa de quando ainda estamos em : futuro!
Portanto o sistema não é causal.

Resposta

O sistema
y(t)=xl(-tfract2r)+x(t-3)
é
• Linear
• Invariante no tempo
• Estável (BIBO)
• Com memória
• Não causal

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