Classifique os sistemas a seguir quanto à linearidade, invariância no tempo, estabilidade, memória e causalidade. Justifique bem suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar o sistema
e dizer se ele é linear, invariante no tempo, estável, com memória e causal.
Matéria: sinais e sistemas – classificação de sistemas.
O que vamos precisar:
e dizer se ele é linear, invariante no tempo, estável, com memória e causal.
Matéria: sinais e sistemas – classificação de sistemas.
O que vamos precisar:
- Definição de linearidade (superposição).
- Definição de invariância ao tempo (se um atraso na entrada causa o mesmo atraso na saída).
- Critério de estabilidade BIBO (entrada limitada → saída limitada).
- Conceito de memória (depende só de
ou de outros instantes?). - Critério de causalidade (não depende de valores futuros de
).
Passo 2
Linearidade
Definição: um sistema
é linear se para quaisquer sinais
e escalares
valem
No nosso caso, suponha entrada
. Então
Isso dá
\[
a,x_1(-\tfrac{t}{2}) + b,x_2(-\tfrac{t}{2})
;+;
a,x_1(t-3) + b,x_2(t-3)
a,T[x_1(t)] + b,T[x_2(t)].
\]
\]
Então é linear.
Passo 3
Invariância no tempo
Definição: se atrasar a entrada em , a saída deve atrasar do mesmo jeito.
Definição: se atrasar a entrada em
- Entrada atrasada:
. - Saída correspondente:
Melhor escrever direitinho:
Tx(t-t_0)
= x\bigl(-(t)/2 - (-t_0)?\bigr) + x\bigl((t-t_0)-3\bigr)
= x\bigl(-\tfrac{t}{2} + \tfrac{t_0}{2}\bigr) + x(t - t_0 - 3).
Agora, pegue a saída original e atrase em
:
Tx(t-t_0)
= x\bigl(-(t)/2 - (-t_0)?\bigr) + x\bigl((t-t_0)-3\bigr)
= x\bigl(-\tfrac{t}{2} + \tfrac{t_0}{2}\bigr) + x(t - t_0 - 3).
Agora, pegue a saída original
Como deu exatamente a mesma expressão, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Estabilidade (BIBO)
Critério: se para todo
, então precisa existir
tal que
.
Aqui
Critério: se
Aqui
Como
é finito, o sistema é estável.
Passo 5
Memória
Um sistema é memória zero (memoryless) se depende só de
.
No nosso caso, depende de
e
, ou seja, de instantes diferentes de
.
Logo, tem memória.
Um sistema é memória zero (memoryless) se
No nosso caso,
Logo, tem memória.
Passo 6
Causalidade
Um sistema é causal se, para cada ,
depende apenas de
com
.
Aqui o termo usa só passado (ok), mas o termo
pode olhar para o futuro.
Por exemplo, em , temos
, ou seja, precisa de
quando ainda estamos em
: futuro!
Portanto o sistema não é causal.
Um sistema é causal se, para cada
Aqui o termo
Por exemplo, em
Portanto o sistema não é causal.
Resposta
O sistema
é
• Linear
• Invariante no tempo
• Estável (BIBO)
• Com memória
• Não causal
• Linear
• Invariante no tempo
• Estável (BIBO)
• Com memória
• Não causal