Classifique os sistemas a seguir quanto à linearidade, invariância no tempo, estabilidade, memória e causalidade. Justifique bem suas respostas.
(1,5) y[n]=sumk=-infty^n x[k]

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente analisar o sistema
y[n] = sumk=-infty^n x[k]
e dizer se ele é linear, invariante no tempo, estável (BIBO), com memória e causal.
O conteúdo aqui é Teoria de Sistemas Discretos (Sinais e Sistemas), e vamos precisar das definições de cada propriedade:
  • Linearidade (testar superposição e homogeneidade)
  • Invariância no tempo (ver se um atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída)
  • Estabilidade BIBO (se entrada limitada gera saída limitada)
  • Memória (se a saída depende só do presente ou de instantes passados/futuros)
  • Causalidade (se depende só de presente e passado)

Passo 2

Linearidade
  1. Homogeneidade: se eu multiplicar ya[n] = sumk=-infty^n (a,x[k]) = a sumk=-infty^n x[k] = a,y[n] por uma constante y1+2[n] = sumk=-infty^n l(x1[k]+x2[k]r) = sumk=-infty^n x1[k] + sumk=-infty^n x2[k] = y1[n] + y2[n] , a saída vira
  1. Aditividade: se eu tiver duas entradas e , a saída associada a é
Como satisfaz homogeneidade e aditividade, o sistema é linear.

Passo 3

Invariância no tempo
A gente aplica um atraso y'[n] = sumk=-infty^n x'[k] = sumk=-infty^n x[k-n0] na entrada: summ=-infty^,n-n0 x[m] = y[n-n0] . Então a saída seria
Fazendo a mudança de variável , o somatório vira
Isso mostra que atrasar a entrada atrasa a saída do mesmo jeito. Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Estabilidade BIBO
Para ser BIBO estável, toda entrada limitada lvert y[n]rvert = llvertsumk=-infty^n x[k]rrvert <= sumk=-infty^n lvert x[k]rvert <= sumk=-infty^n B deve gerar .
Aqui
Mas somar infinitas vezes (de até ) diverge para o infinito. Logo não existe finito que limite . O sistema é instável.

Passo 5

Memória
Um sistema é sem memória (instantâneo) se depende só de . Aqui, depende de todos os valores para . Logo, ele guarda informação de instantes passados: TEM MEMÓRIA.

Passo 6

Causalidade
Um sistema causal não pode depender de valores futuros com . Aqui o somatório vai de até , ou seja, depende só de e de com . Não usa futuro. Logo, é causal.

Resposta

Linear, Invariante no Tempo, Instável, com Memória e Causal.

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