Classifique os sistemas a seguir quanto à linearidade, invariância no tempo, estabilidade, memória e causalidade. Justifique bem suas respostas.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente analisar o sistema
e dizer se ele é linear, invariante no tempo, estável (BIBO), com memória e causal.
O conteúdo aqui é Teoria de Sistemas Discretos (Sinais e Sistemas), e vamos precisar das definições de cada propriedade:
Linearidade (testar superposição e homogeneidade)
Invariância no tempo (ver se um atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída)
Estabilidade BIBO (se entrada limitada gera saída limitada)
Memória (se a saída depende só do presente ou de instantes passados/futuros)
Causalidade (se depende só de presente e passado)
Passo 2
Linearidade
Homogeneidade: se eu multiplicar por uma constante , a saída vira
Aditividade: se eu tiver duas entradas e , a saída associada a é
Como satisfaz homogeneidade e aditividade, o sistema é linear.
Passo 3
Invariância no tempo
A gente aplica um atraso na entrada: . Então a saída seria
Fazendo a mudança de variável , o somatório vira
Isso mostra que atrasar a entrada atrasa a saída do mesmo jeito. Logo, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Estabilidade BIBO
Para ser BIBO estável, toda entrada limitada deve gerar .
Aqui
Mas somar infinitas vezes (de até ) diverge para o infinito. Logo não existe finito que limite . O sistema é instável.
Passo 5
Memória
Um sistema é sem memória (instantâneo) se depende só de . Aqui, depende de todos os valores para . Logo, ele guarda informação de instantes passados: TEM MEMÓRIA.
Passo 6
Causalidade
Um sistema causal não pode depender de valores futuros com . Aqui o somatório vai de até , ou seja, depende só de e de com . Não usa futuro. Logo, é causal.
Resposta
Linear, Invariante no Tempo, Instável, com Memória e Causal.