Calcular integral duplaS x z d S, sendo S a parte da superficie y=x^2, delimitada pelos planos z=0, z=4, x=0 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaS x z , dS, onde S é a parte da superfície definida pela equação y = x^2. Essa superfície está limitada pelos planos z=0, z=4, x=0 e x=2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente integração sobre superfícies. Precisaremos parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área dS e montar a integral para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. A equação y = x^2 nos mostra que, para cada valor de x, o valor de y é o quadrado de x. Como não há restrição para z na equação da superfície, z pode variar livremente, mas está limitado entre 0 e 4 pelo enunciado.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície S. Uma forma comum de fazer isso é expressar as coordenadas em termos de dois parâmetros. Aqui, podemos escolher x e z como nossos parâmetros. Assim, a parametrização fica:
r(x, z) = lang<= x, x^2, z rang<=
onde x varia de 0 a 2 e z varia de 0 a 4.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS. Para isso, usamos o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros escolhidos ( x e z).
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial rpartial x = lang<= 1, 2x, 0 rang<=
partial rpartial z = lang<= 0, 0, 1 rang<=
O produto vetorial dessas derivadas é:
partial rpartial x times partial rpartial z = i & j & k 1 & 2x & 0 0 & 0 & 1 = lang<= 2x, -1, 0 rang<=
O módulo desse vetor nos dá o elemento de área:
| partial rpartial x times partial rpartial z | = raiz(2x)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4x^2 + 1
Portanto, dS = raiz4x^2 + 1 , dx , dz.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla. A função que vamos integrar é x z, e o elemento de área é raiz4x^2 + 1 , dx , dz. Os limites de integração são de x=0 a x=2 e de z=0 a z=4. Assim, a integral fica:
integral duplaS x z , dS = integralx=0^2 integralz=0^4 x z raiz4x^2 + 1 , dz , dx

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral interna é:
integral0^4 x z raiz4x^2 + 1 , dz
Como x e raiz4x^2 + 1 são constantes em relação a z, podemos fatorá-los:
x raiz4x^2 + 1 integral0^4 z , dz
Integrando z de 0 a 4:
integral0^4 z , dz = [ z^22 ]0^4 = 162 - 0 = 8
Portanto, a integral interna resulta em:
x raiz4x^2 + 1 times 8 = 8x raiz4x^2 + 1

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2 8x raiz4x^2 + 1 , dx
Podemos fatorar o 8:
8 integral0^2 x raiz4x^2 + 1 , dx

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = 4x^2 + 1 du = 8x , dx du8 = x , dx
Substituindo na integral:
8 integral raizu cdot du8 = integral raizu , du
Integrando raizu:
integral raizu , du = 23 u^3/2 + C

Passo 9

Voltando às variáveis originais:
23 u^3/2 = 23 (4x^2 + 1)^3/2
Então, a integral definida de x=0 a x=2 é:
23 [ (4(2)^2 + 1)^3/2 - (4(0)^2 + 1)^3/2 ] = 23 [ (16 + 1)^3/2 - (1)^3/2 ] = 23 [ 17^3/2 - 1 ]
Calculando 17^3/2:
17^3/2 = raiz17^3 = raiz4913 approx 70
Mas, para precisão:
17^3/2 = 17 times raiz17 approx 17 times 4.1231 approx 70.0927
Portanto:
23 (70.0927 - 1) = 23 times 69.0927 approx 46.0618

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaS x z , dS é aproximadamente 46.06.

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