calcular a integral indefinida.
\int \frac{3}{x(\ln (3 x))^{2}} d x

Passo 1

O problema pede a integral indefinida
\int \frac{3}{x(\ln(3x))^{2}}\,dx.
Informações dadas: o integrando é \dfrac{3}{x(\ln(3x))^{2}}. Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{3}{x(\ln(3x))^{2}}. Observação sobre domínio: como aparece \ln(3x) no denominador, faz sentido trabalhar com x>0 para que \ln(3x) seja definido (se o enunciado tivesse \ln|3x| poderíamos estender para x\neq0).

Passo 2

Vamos enxergar a estrutura do integrando e procurar uma substituição simples. Note que temos \ln(3x) e também um fator 1/x multiplicando. Isso sugere a substituição
u=\ln(3x).
Agora calculamos o diferencial du. Usando a regra da cadeia (derivada de \ln(3x)):
\frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{x},
então
du=\frac{dx}{x}.
Isso é ótimo porque o integrando contém exatamente um fator dx/x.

Passo 3

Reescrevemos o integrando em termos de u. Temos
\frac{3}{x(\ln(3x))^{2}}\,dx =3\cdot\frac{1}{(\ln(3x))^{2}}\cdot\frac{dx}{x}.
Com \;u=\ln(3x) e \;du=\dfrac{dx}{x}, isso vira
3\cdot u^{-2}\,du.
Portanto a integral fica
\int \frac{3}{x(\ln(3x))^{2}}\,dx = \int 3\,u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. Usamos a fórmula da integral de potência:
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq-1.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1}.
Multiplicando por 3:
\int 3\,u^{-2}\,du = 3\cdot(-u^{-1}) = -\frac{3}{u}+C.

Passo 5

Voltamos à variável x substituindo u=\ln(3x). A primitiva é
-\frac{3}{\ln(3x)}+C.
Fazemos uma verificação rápida diferenciando essa expressão para garantir que recuperamos o integrando original. Sea F(x)=-3(\ln(3x))^{-1}. Então, pela regra da cadeia,
F'(x)=-3\cdot(-1)(\ln(3x))^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\ln(3x) =3\cdot\frac{1}{(\ln(3x))^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{3}{x(\ln(3x))^{2}},
que é exatamente o integrando. Beleza — está correto.

Resposta

-\dfrac{3}{\ln(3x)}+C

Exercícios relacionados