calcular a integral indefinida.
Passo 1
O problema pede a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é
. Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Observação sobre domínio: como aparece
no denominador, faz sentido trabalhar com
para que
seja definido (se o enunciado tivesse
poderíamos estender para
).
Passo 2
Vamos enxergar a estrutura do integrando e procurar uma substituição simples. Note que temos
e também um fator
multiplicando. Isso sugere a substituição
Agora calculamos o diferencial
. Usando a regra da cadeia (derivada de
):
então
Isso é ótimo porque o integrando contém exatamente um fator
.
Passo 3
Reescrevemos o integrando em termos de
. Temos
Com
e
, isso vira
Portanto a integral fica
Passo 4
Agora integramos em
. Usamos a fórmula da integral de potência:
Aqui
, então
Multiplicando por
:
Passo 5
Voltamos à variável
substituindo
. A primitiva é
Fazemos uma verificação rápida diferenciando essa expressão para garantir que recuperamos o integrando original. Sea
. Então, pela regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Beleza — está correto.