Verifique a convergência das seguintes integrais.
.
Passo 1
O que o problema pede: verificar a convergência da integral imprópria
Informações dadas e observações iniciais:
- A integral é imprópria porque o intervalo é infinito: integração de
até . - O integrando é
. - Note que
para todo e que é limitada por (isto é, ). - O objetivo é dizer se a integral converge (e, se quiser, se converge absolutamente).
Passo 2
Definição de convergência para integrais sobre intervalo infinito:
A integral
A integral
converge se existir o limite finito
Como nosso integrando é não negativo (
), podemos usar o teste da comparação direta: se
para
e
converge, então
também converge.
Passo 3
Lema útil (integral p):
Para vale
Para
Em particular, para
temos que
converge. Vou usar esse fato como função comparadora simples e conhecida.
Passo 4
Comparação direta aplicada ao integrando:
Como observado no Passo 1, para todo
Como observado no Passo 1, para todo
Logo, para
vale
Calculamos a integral comparadora:
que é finito. Pelo teste da comparação, como
e
converge, concluímos que
também converge.
Passo 5
Observação sobre convergência absoluta:
Aqui o integrando já é não negativo, então a integral da função positiva é igual à integral do valor absoluto. Portanto a convergência que mostramos é, na prática, convergência absoluta. (Em termos práticos: .)
Aqui o integrando já é não negativo, então a integral da função positiva é igual à integral do valor absoluto. Portanto a convergência que mostramos é, na prática, convergência absoluta. (Em termos práticos:
Resposta
Converge (convergência absoluta).