Verifique a convergência das seguintes integrais.
\int_{\pi}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}} d x.

Passo 1

O que o problema pede: verificar a convergência da integral imprópria
\int_{\pi}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integral é imprópria porque o intervalo é infinito: integração de \pi até +\infty.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}.
  • Note que \operatorname{sen}^{2}(x)\ge 0 para todo x e que \operatorname{sen}^{2}(x) é limitada por 1 (isto é, 0\le \operatorname{sen}^{2}(x)\le 1).
  • O objetivo é dizer se a integral converge (e, se quiser, se converge absolutamente).

Passo 2

Definição de convergência para integrais sobre intervalo infinito:
A integral
\int_{\pi}^{\infty} f(x)\,dx
converge se existir o limite finito
\lim_{R\to\infty}\int_{\pi}^{R} f(x)\,dx.
Como nosso integrando é não negativo ( \ge 0), podemos usar o teste da comparação direta: se 0\le f(x)\le g(x) para x\ge \pi e \int_{\pi}^{\infty} g(x)\,dx converge, então \int_{\pi}^{\infty} f(x)\,dx também converge.

Passo 3

Lema útil (integral p):
Para p>1 vale
\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx<\infty.
Em particular, para p=2 temos que \int_{a}^{\infty} \dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge. Vou usar esse fato como função comparadora simples e conhecida.

Passo 4

Comparação direta aplicada ao integrando:
Como observado no Passo 1, para todo x
0\le \operatorname{sen}^{2}(x)\le 1.
Logo, para x\ge \pi vale
0\le \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}\le \frac{1}{x^{2}}.
Calculamos a integral comparadora:
\int_{\pi}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{\pi}^{R}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{\pi}^{R} = \lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{R}+\frac{1}{\pi}\right) = \frac{1}{\pi},
que é finito. Pelo teste da comparação, como 0\le \dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}\le \dfrac{1}{x^{2}} e \int_{\pi}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge, concluímos que
\int_{\pi}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}\,dx
também converge.

Passo 5

Observação sobre convergência absoluta:
Aqui o integrando já é não negativo, então a integral da função positiva é igual à integral do valor absoluto. Portanto a convergência que mostramos é, na prática, convergência absoluta. (Em termos práticos: \int_{\pi}^{\infty}\left|\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}\right|dx=\int_{\pi}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x^{2}}dx<\infty.)

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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