Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
a_{n}=n^{\frac{1}{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=n^{\frac{1}{n}} para n\in\mathbb{N} (supondo n\ge 1) e pede o limite de a_{n} quando n\to\infty.
Informações relevantes: a sequência é formada por potências com expoente \frac{1}{n}. A pergunta explícita é: calcular \lim_{n\to\infty} a_{n}, caso exista.

Passo 2

Vamos transformar a sequência de modo a ficar mais fácil estudar o limite. Definimos
b_{n}=\ln(a_{n}).
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma potência em produto, obtemos
b_{n}=\ln\bigl(n^{\frac{1}{n}}\bigr)=\frac{1}{n}\ln n=\frac{\ln n}{n}.
Explicação didática: tomar o log simplifica porque a operação x\mapsto x^{1/n} vira uma multiplicação por 1/n dentro do log, e multiplicações são geralmente mais fáceis de analisar em limites do que expoentes.

Passo 3

Relacionamento entre os limites: como a_{n}=e^{b_{n}}, se conseguirmos calcular \lim_{n\to\infty} b_{n}=L então, pela continuidade da função exponencial, teremos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} e^{b_{n}}=e^{L}.
Aqui o comentário importante (em linguagem simples): a exponencial é uma função contínua, então o limite do exponencial da sequência é o exponencial do limite da sequência.

Passo 4

Calcular \lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}. Para isso, é conveniente estudar a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0,
e ver o limite quando x\to\infty. Observe que quando x\to\infty both \ln x\to\infty e x\to\infty, então a forma é \frac{\infty}{\infty}, que é uma situação clássica para aplicar o Teorema de L’Hospital.

Passo 5

Aplicando o Teorema de L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Pelo Teorema de L’Hospital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto \lim_{x\to\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0. Como a sequência b_{n}=\dfrac{\ln n}{n} é apenas a amostragem dessa função em inteiros, segue que
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.

Passo 6

Voltando para a_{n}: como a_{n}=e^{b_{n}} e \lim_{n\to\infty} b_{n}=0, pela continuidade de e^{x} temos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=e^{0}=1.
Interpretação intuitiva: embora n cresça muito, o expoente \tfrac{1}{n} vai para zero rápido o bastante para “anular” o crescimento de n, deixando a potência tendendo a 1.

Passo 7

Pequena verificação numérica (só para confirmar a intuição): \,a_{10}=10^{0,1}\approx 1{,}259, \,a_{100}=100^{0,01}\approx 1{,}047, \,a_{1000}\approx 1{,}0069. Vê-se que os termos se aproximam de 1.

Resposta

1

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