Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
(supondo
) e pede o limite de
quando
.
Informações relevantes: a sequência é formada por potências com expoente . A pergunta explícita é: calcular
, caso exista.
Informações relevantes: a sequência é formada por potências com expoente
Passo 2
Vamos transformar a sequência de modo a ficar mais fácil estudar o limite. Definimos
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma potência em produto, obtemos
Explicação didática: tomar o log simplifica porque a operação
vira uma multiplicação por
dentro do log, e multiplicações são geralmente mais fáceis de analisar em limites do que expoentes.
Passo 3
Relacionamento entre os limites: como
, se conseguirmos calcular
então, pela continuidade da função exponencial, teremos
Aqui o comentário importante (em linguagem simples): a exponencial é uma função contínua, então o limite do exponencial da sequência é o exponencial do limite da sequência.
Passo 4
Calcular
. Para isso, é conveniente estudar a função contínua
e ver o limite quando
. Observe que quando
both
e
, então a forma é
, que é uma situação clássica para aplicar o Teorema de L’Hospital.
Passo 5
Aplicando o Teorema de L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a
:
Pelo Teorema de L’Hospital,
Portanto
. Como a sequência
é apenas a amostragem dessa função em inteiros, segue que
Passo 6
Voltando para
: como
e
, pela continuidade de
temos
Interpretação intuitiva: embora
cresça muito, o expoente
vai para zero rápido o bastante para “anular” o crescimento de
, deixando a potência tendendo a
.
Passo 7
Pequena verificação numérica (só para confirmar a intuição):
,
,
. Vê-se que os termos se aproximam de
.
Resposta
1