Calcular a integral indefinida.
\int \operatorname{sen}^{3}(1-2 \theta) \cos ^{3}(1-2 \theta) d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3}(1-2\theta)\,\cos^{3}(1-2\theta)\,d\theta.
  • Informação dada: a função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno da mesma expressão angular (1-2\theta).
  • O objetivo final é fornecer uma antiderivada (ou família de antiderivadas) dessa função, isto é, uma expressão F(\theta) tal que F'(\theta) seja a função integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (escolha do método) — explicando por que funciona:
  • Quando temos potências ímpares de seno ou cosseno combinadas, uma técnica prática é reservar um fator linear (ou fator que apareça na diferencial de uma substituição) e transformar o resto usando a identidade \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
  • Aqui temos potências ímpares de ambos, mas podemos separar um fator de \cos(1-2\theta) para usar a substituição u=\sin(1-2\theta), porque a derivada de \sin(1-2\theta) é proporcional a \cos(1-2\theta) (regra da cadeia). Isso simplifica a integral para um polinômio em u.
  • Então vamos reescrever a integranda isolando um fator \cos(1-2\theta).

Passo 3

Reescrever a integranda para aplicar a substituição:
  • Escrevemos
\sin^{3}(1-2\theta)\cos^{3}(1-2\theta) = \sin^{3}(1-2\theta)\cos^{2}(1-2\theta)\cdot\cos(1-2\theta).
  • Usamos a identidade pitagórica para substituir \cos^{2}(1-2\theta)=1-\sin^{2}(1-2\theta). Assim a parte que não envolve a diferencial fica em função de \sin(1-2\theta), adequada para a substituição.

Passo 4

Fazer a substituição e transformar a diferencial — explicar a regra da cadeia:
  • Defina u=\sin(1-2\theta).
  • Derivando ambos os lados em relação a \theta (regra da cadeia):
\frac{du}{d\theta}=\cos(1-2\theta)\cdot\frac{d}{d\theta}(1-2\theta)=\cos(1-2\theta)\cdot(-2).
  • Portanto
\cos(1-2\theta)\,d\theta=-\frac{1}{2}\,du.
  • Substituindo na integral:
\int \sin^{3}(1-2\theta)\cos^{2}(1-2\theta)\cdot\cos(1-2\theta)\,d\theta = \int u^{3}\bigl(1-u^{2}\bigr)\cdot\left(-\frac{1}{2}\,du\right).

Passo 5

Simplificar a integral em u e integrar passo a passo:
  • Extraindo a constante:
-\frac{1}{2}\int u^{3}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du = -\frac{1}{2}\int\bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du.
  • Integrando termo a termo (usar a regra de potência: \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
-\frac{1}{2}\left(\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}\right)+C.
  • Simplificando os coeficientes:
-\frac{u^{4}}{8}+\frac{u^{6}}{12}+C.

Passo 6

Voltar à variável original \theta (substituir u=\sin(1-2\theta)):
  • Substituindo:
-\frac{\sin^{4}(1-2\theta)}{8}+\frac{\sin^{6}(1-2\theta)}{12}+C.
  • Opcionalmente, pode-se reescrever numa forma factorizada:
\frac{1}{24}\sin^{4}(1-2\theta)\bigl(2\sin^{2}(1-2\theta)-3\bigr)+C,
mas ambas as formas representam a mesma família de antiderivadas.

Passo 7

Breve verificação (checagem por diferenciação) — ideia e cálculo resumido:
  • Se derivarmos F(\theta)=\dfrac{\sin^{6}(1-2\theta)}{12}-\dfrac{\sin^{4}(1-2\theta)}{8} usando a regra da cadeia e a regra de potência, recuperamos
\sin^{3}(1-2\theta)\cos^{3}(1-2\theta),
o que confirma que a antiderivada está correta (a demonstração completa da diferenciação é direta porém um pouco longa; a ideia é aplicar \dfrac{d}{d\theta}\sin^{n}(1-2\theta)=n\sin^{n-1}(1-2\theta)\cos(1-2\theta)\cdot(-2) e simplificar).

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{6}(1-2\theta)}{12}-\frac{\sin^{4}(1-2\theta)}{8}+C

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