Calcular a integral indefinida.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a integral indefinida
- Informação dada: a função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno da mesma expressão angular
. - O objetivo final é fornecer uma antiderivada (ou família de antiderivadas) dessa função, isto é, uma expressão
tal que seja a função integranda, mais a constante de integração .
Passo 2
Estratégia (escolha do método) — explicando por que funciona:
- Quando temos potências ímpares de seno ou cosseno combinadas, uma técnica prática é reservar um fator linear (ou fator que apareça na diferencial de uma substituição) e transformar o resto usando a identidade
. - Aqui temos potências ímpares de ambos, mas podemos separar um fator de
para usar a substituição , porque a derivada de é proporcional a (regra da cadeia). Isso simplifica a integral para um polinômio em . - Então vamos reescrever a integranda isolando um fator
.
Passo 3
Reescrever a integranda para aplicar a substituição:
- Escrevemos
- Usamos a identidade pitagórica para substituir
. Assim a parte que não envolve a diferencial fica em função de , adequada para a substituição.
Passo 4
Fazer a substituição e transformar a diferencial — explicar a regra da cadeia:
- Defina
. - Derivando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia):
- Portanto
- Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificar a integral em
e integrar passo a passo:
- Extraindo a constante:
- Integrando termo a termo (usar a regra de potência:
para ):
- Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Voltar à variável original
(substituir
):
- Substituindo:
- Opcionalmente, pode-se reescrever numa forma factorizada:
mas ambas as formas representam a mesma família de antiderivadas.
Passo 7
Breve verificação (checagem por diferenciação) — ideia e cálculo resumido:
- Se derivarmos
usando a regra da cadeia e a regra de potência, recuperamos
o que confirma que a antiderivada está correta (a demonstração completa da diferenciação é direta porém um pouco longa; a ideia é aplicar
e simplificar).