Calcular a integral indefinida. \int \operatorname{sec} (x+1) d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(x+1)\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é \operatorname{sec}(x+1). O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja \operatorname{sec}(x+1)) mais uma constante de integração.
Passo 2
Fazer uma substituição simples para eliminar o deslocamento dentro do argumento da secante. Defina a variável
u = x+1.
Aqui u é uma nova variável que representa o argumento da função trigonométrica. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = dx,
ou seja, dx é exatamente igual a du. Assim a integral em x fica uma integral em u:
Explicação do porquê: como a derivada de x+1 é 1, o diferencial dx é o mesmo que du, então trocar de variável não altera a forma além de renomear o argumento.
Passo 3
Agora precisamos calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}(u)\,du. Existe um truque padrão para esta integral: multiplicar e dividir por \operatorname{sec}(u)+\tan(u) e então usar uma substituição que transforma a integral em um logaritmo simples.