Calcular a integral indefinida.
\int \operatorname{sec} (x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(x+1)\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é \operatorname{sec}(x+1). O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja \operatorname{sec}(x+1)) mais uma constante de integração.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para eliminar o deslocamento dentro do argumento da secante. Defina a variável
u = x+1.
Aqui u é uma nova variável que representa o argumento da função trigonométrica. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = dx,
ou seja, dx é exatamente igual a du. Assim a integral em x fica uma integral em u:
\int \operatorname{sec}(x+1)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,du.
Explicação do porquê: como a derivada de x+1 é 1, o diferencial dx é o mesmo que du, então trocar de variável não altera a forma além de renomear o argumento.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}(u)\,du. Existe um truque padrão para esta integral: multiplicar e dividir por \operatorname{sec}(u)+\tan(u) e então usar uma substituição que transforma a integral em um logaritmo simples.
Escreve-se
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \int \frac{\operatorname{sec}(u)\bigl(\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr)}{\operatorname{sec}(u)+\tan(u)}\,du.
No numerador multiplicamos e distribuímos:
\operatorname{sec}(u)\bigl(\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr)=\operatorname{sec}^2(u)+\operatorname{sec}(u)\tan(u).

Passo 4

Agora reconhece-se que a derivada de \operatorname{sec}(u)+\tan(u) é exatamente o numerador encontrado. Defina
v=\operatorname{sec}(u)+\tan(u).
Calculando dv em termos de du:
dv=\bigl(\operatorname{sec}(u)\tan(u)+\operatorname{sec}^2(u)\bigr)\,du.
Portanto o numerador \operatorname{sec}^2(u)+\operatorname{sec}(u)\tan(u) é exatamente dv/du multiplicado por du. Substituindo na integral:
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \int \frac{dv}{v}.
Essa última integral é a integral do inverso, cujo resultado é o logaritmo natural:
\int \frac{dv}{v}=\ln|v|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volte às variáveis originais substituindo v e u de volta:
\ln|v|+C=\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|+C
e lembrando que u=x+1,
\int \operatorname{sec}(x+1)\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec}(x+1)+\tan(x+1)\bigr|+C.

Passo 6

Checagem rápida (para ficar tranquilo): derivando a primitiva encontrada deve-se recuperar \operatorname{sec}(x+1). Fazendo a derivada
\frac{d}{dx}\ln\bigl|\operatorname{sec}(x+1)+\tan(x+1)\bigr| =\frac{\operatorname{sec}(x+1)\tan(x+1)+\operatorname{sec}^2(x+1)}{\operatorname{sec}(x+1)+\tan(x+1)}\cdot\frac{d}{dx}(x+1).
Como \dfrac{d}{dx}(x+1)=1 e fatorando \operatorname{sec}(x+1) no numerador, obtém-se
\frac{\operatorname{sec}(x+1)\bigl(\tan(x+1)+\operatorname{sec}(x+1)\bigr)}{\operatorname{sec}(x+1)+\tan(x+1)}=\operatorname{sec}(x+1),
que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sec}(x+1)+\tan(x+1)\bigr|+C

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