Calcular a integral indefinida.
\int \operatorname{sen}(\omega t+\theta) d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(\omega t+\theta)\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é t.
  • \omega e \theta são constantes (parâmetros) em relação a t.
  • Deve aparecer a constante de integração C no resultado.
  • Preciso tratar separadamente o caso \omega=0, porque aí o argumento da seno não depende de t e a técnica muda.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): usar substituição de variável (mudança de variável), que é a maneira padrão para integrar funções compostas do tipo \sin(\text{algo que depende de }t). A substituição transforma a integral numa forma mais simples. A substituição clássica é definir
u = \omega t + \theta.
Aqui a explicação do porquê: queremos que o “algo” dentro do \sin vire a nova variável u, porque sabemos integrar \sin u facilmente. Depois usamos a relação entre du e dt para reescrever a integral em termos de u.

Passo 3

Calcular du em função de dt. Diferenciando u=\omega t+\theta em relação a t (derivada):
\frac{du}{dt}=\omega.
Isto significa que
du=\omega\,dt\qquad\text{ou}\qquad dt=\frac{du}{\omega},
desde que \omega\neq0. Neste passo aprendeu-se: ao fazer substituição, sempre expressar dt por du usando a derivada da substituição.

Passo 4

Reescrever a integral usando u. Substituindo \sin(\omega t+\theta)=\sin u e dt=\dfrac{du}{\omega}, obtemos (para \omega\neq0)
\int \operatorname{sen}(\omega t+\theta)\,dt=\int \sin u\cdot\frac{du}{\omega}=\frac{1}{\omega}\int \sin u\,du.
Observação didática: puxamos a constante \dfrac{1}{\omega} para fora da integral porque não depende de u.

Passo 5

Integrar \int \sin u\,du. A integral primitiva básica conhecida é
\int \sin u\,du = -\cos u + C.
Explicação curta dessa primitiva: a derivada de \cos u é -\sin u, então a primitiva de \sin u deve ser -\cos u (mais uma constante). Aplicando isso na expressão anterior:
\frac{1}{\omega}\int \sin u\,du=\frac{1}{\omega}\bigl(-\cos u\bigr)+C=-\frac{1}{\omega}\cos u + C.

Passo 6

Voltar à variável original t substituindo u=\omega t+\theta:
\int \operatorname{sen}(\omega t+\theta)\,dt = -\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\theta) + C,\qquad(\omega\neq0).
Aqui aprendeu-se a desfazer a substituição: sempre retornar à variável inicial no resultado final.

Passo 7

Tratar o caso especial \omega=0. Se \omega=0 então o integrando fica \operatorname{sen}(\theta), que é uma constante (em relação a t). A integral de uma constante é a constante vezes t. Portanto, para \omega=0:
\int \operatorname{sen}(\omega t+\theta)\,dt = \int \operatorname{sen}(\theta)\,dt = \operatorname{sen}(\theta)\,t + C,\qquad(\omega=0).
É importante separar esse caso porque, quando \omega=0, não podemos dividir por \omega.

Passo 8

Verificação rápida (checagem por diferenciação) do caso \omega\neq0. Diferenciando
F(t)=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\theta)
usando a regra da cadeia:
F'(t)=-\frac{1}{\omega}\cdot\bigl(-\sin(\omega t+\theta)\bigr)\cdot\omega=\sin(\omega t+\theta),
o que confirma que F é uma primitiva correta. Isso é uma boa prática: sempre verificar derivando o resultado.

Resposta

-\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega t+\theta)+C \quad (se \omega\neq0)
\operatorname{sen}(\theta)\,t + C \quad (se \omega=0)

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