Calcular a integral indefinida.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. -
e são constantes (parâmetros) em relação a . - Deve aparecer a constante de integração
no resultado. - Preciso tratar separadamente o caso
, porque aí o argumento da seno não depende de e a técnica muda.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): usar substituição de variável (mudança de variável), que é a maneira padrão para integrar funções compostas do tipo
. A substituição transforma a integral numa forma mais simples. A substituição clássica é definir
Aqui a explicação do porquê: queremos que o “algo” dentro do
vire a nova variável
, porque sabemos integrar
facilmente. Depois usamos a relação entre
e
para reescrever a integral em termos de
.
Passo 3
Calcular
em função de
. Diferenciando
em relação a
(derivada):
Isto significa que
desde que
. Neste passo aprendeu-se: ao fazer substituição, sempre expressar
por
usando a derivada da substituição.
Passo 4
Reescrever a integral usando
. Substituindo
e
, obtemos (para
)
Observação didática: puxamos a constante
para fora da integral porque não depende de
.
Passo 5
Integrar
. A integral primitiva básica conhecida é
Explicação curta dessa primitiva: a derivada de
é
, então a primitiva de
deve ser
(mais uma constante). Aplicando isso na expressão anterior:
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Aqui aprendeu-se a desfazer a substituição: sempre retornar à variável inicial no resultado final.
Passo 7
Tratar o caso especial
. Se
então o integrando fica
, que é uma constante (em relação a
). A integral de uma constante é a constante vezes
. Portanto, para
:
É importante separar esse caso porque, quando
, não podemos dividir por
.
Passo 8
Verificação rápida (checagem por diferenciação) do caso
. Diferenciando
usando a regra da cadeia:
o que confirma que
é uma primitiva correta. Isso é uma boa prática: sempre verificar derivando o resultado.