Calcular a integral \int \frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x} d x.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x}\,dx.
  • Informação útil: o integrando é uma razão de polinômios, com numerador de grau 3 e denominador de grau 2.
Observação inicial (importante para escolher o método): quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é conveniente primeiro fazer divisão de polinômios para separar uma parte polinomial mais simples e uma fração própria (com numerador de grau menor que o do denominador). Depois, se necessário, usar decomposição em frações parciais na parte que ficou como fração própria.

Passo 2

Fazer a divisão de polinômios para simplificar o integrando.
Vou dividir x^{3}+x^{2}+1 por x^{2}+x.
  • Primeiro termo: \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Multiplicando o divisor por x x(x^{2}+x)=x^{3}+x^{2}.
  • Subtraindo do numerador original: (x^{3}+x^{2}+0\cdot x +1)-(x^{3}+x^{2})=1.
Portanto a divisão dá quociente x e resto 1. Logo podemos reescrever o integrando assim:
\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x}=x+\frac{1}{x^{2}+x}.
Essa simplificação já deixou a parte difícil (grau maior) transformada em um polinômio simples x mais uma fração própria \dfrac{1}{x^{2}+x}.

Passo 3

Reescrever a fração própria para facilitar a integração: fatorar o denominador e preparar decomposição em frações parciais.
Fatorando x^{2}+x obtemos x(x+1). Assim
\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x+1)}.
Para integrar algo da forma \dfrac{1}{x(x+1)} é padrão usar decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Determinar os coeficientes A e B da decomposição.
Começo com
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1) obtemos a identidade polinomial
1 = A(x+1)+B x.
Expandindo:
1 = (A+B)x + A.
Como isto vale para todo x, igualamos coeficientes:
  • Coeficiente de x: A+B=0.
  • Termo constante: A=1.
Daí A=1 e B=-1. Portanto
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Agora juntar tudo e integrar termo a termo.
Relembrando o que já achamos:
\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x}=x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.
Vamos integrar cada parcela usando regras básicas:
  • Regra 1: \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_1. (Integrar potência: \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=1.)
  • Regra 2: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C_2. (A primitiva de 1/x é o logaritmo natural com valor absoluto.)
  • Regra 3: \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C_3. (Mesma ideia da Regra 2, com uma constante de translação.)
Integrando termo a termo:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_1, \qquad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C_2, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C_3.
Somando as primitivas correspondentes aos termos x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1} e agrupando as constantes C_1,C_2,C_3 em uma única constante arbitrária C, obtemos a antiderivada buscada (vou colocar a forma final simplificada na seção de resposta).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln\!\bigl|x\bigr|-\ln\!\bigl|x+1\bigr|+C

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