Calcular a integral
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a integral indefinida
. - Informação útil: o integrando é uma razão de polinômios, com numerador de grau 3 e denominador de grau 2.
Observação inicial (importante para escolher o método): quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é conveniente primeiro fazer divisão de polinômios para separar uma parte polinomial mais simples e uma fração própria (com numerador de grau menor que o do denominador). Depois, se necessário, usar decomposição em frações parciais na parte que ficou como fração própria.
Passo 2
Fazer a divisão de polinômios para simplificar o integrando.
Vou dividir
por
.
- Primeiro termo:
. Multiplicando o divisor por dá . - Subtraindo do numerador original:
.
Portanto a divisão dá quociente
e resto
. Logo podemos reescrever o integrando assim:
Essa simplificação já deixou a parte difícil (grau maior) transformada em um polinômio simples
mais uma fração própria
.
Passo 3
Reescrever a fração própria para facilitar a integração: fatorar o denominador e preparar decomposição em frações parciais.
Fatorando
obtemos
. Assim
Para integrar algo da forma
é padrão usar decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Determinar os coeficientes
e
da decomposição.
Começo com
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Expandindo:
Como isto vale para todo
, igualamos coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Daí
e
. Portanto
Passo 5
Agora juntar tudo e integrar termo a termo.
Relembrando o que já achamos:
Vamos integrar cada parcela usando regras básicas:
- Regra 1:
. (Integrar potência: para . Aqui .) - Regra 2:
. (A primitiva de é o logaritmo natural com valor absoluto.) - Regra 3:
. (Mesma ideia da Regra 2, com uma constante de translação.)
Integrando termo a termo:
Somando as primitivas correspondentes aos termos
e agrupando as constantes
em uma única constante arbitrária
, obtemos a antiderivada buscada (vou colocar a forma final simplificada na seção de resposta).