Dividir o polinômio p(x) pelo q(x), nos casos abaixo:
  • p(x)=x^{3}+x^{2}+1 e q(x)=x^{2}+x;
  • p(x)=2 x^{3}-4 x^{2}-x-3 e q(x)=x^{2}-2 x-3.

Passo 1

O enunciado pede dividir dois pares de polinômios e retornar quociente e resto em cada caso. As divisões solicitadas são:
  • Dividir p(x)=x^{3}+x^{2}+1 por q(x)=x^{2}+x.
  • Dividir p(x)=2x^{3}-4x^{2}-x-3 por q(x)=x^{2}-2x-3.
Informações relevantes dadas:
  • Os polinômios p(x) e q(x) estão explicitados acima para cada caso.
  • Para cada divisão queremos encontrar um polinômio quociente s(x) e um resto r(x) tais que p(x)=q(x)\,s(x)+r(x) com \deg r<\deg q.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (divisão de polinômios passo a passo).
  • Teorema da divisão: para polinômios p(x) e q(x) com q\not\equiv0 existe única decomposição
p(x)=q(x)\,s(x)+r(x),
onde s(x) é o quociente e r(x) é o resto, e vale r(x)=0 ou \deg r<\deg q.
  • Como proceder na prática (algoritmo):
    1. Escrever p(x) e q(x) com todos os graus presentes, preenchendo coeficiente 0 quando faltar termo (ex.: incluir o termo em x se não estiver).
    2. Dividir o termo de maior grau de p pelo termo de maior grau de q. O resultado é o primeiro termo do quociente.
    3. Multiplicar todo q(x) por esse termo e subtrair do p(x). O resultado é um novo polinômio (resto parcial).
    4. Repetir o processo com o resto parcial: dividir seu termo de maior grau pelo termo de maior grau de q, obter o próximo termo do quociente, multiplicar e subtrair.
    5. Parar quando o grau do resto for menor que o grau de q. Esse resto final é r(x).
  • Observação: cada operação usa apenas multiplicação e subtração de coeficientes inteiros aqui — dá para fazer à mão sem calculadora.

Passo 3

Preparação prática: sempre alinhar termos por grau. Se faltar algum grau colocar coeficiente 0.
Exemplo de alinhamento para as divisões:
  • No caso (a): escrever p(x)=x^{3}+x^{2}+0x+1 e q(x)=x^{2}+x+0.
  • No caso (b): já estão todos os termos presentes: p(x)=2x^{3}-4x^{2}-x-3 e q(x)=x^{2}-2x-3.
Agora aplicamos o algoritmo passo a passo em cada caso.

Passo 4

Caso (a): dividir p(x)=x^{3}+x^{2}+0x+1 por q(x)=x^{2}+x+0.
  1. Termo de maior grau de p é x^{3}. Termo de maior grau de q é x^{2}.
  2. Dividir x^{3} por x^{2}: isso dá x. Esse é o primeiro (e aqui único) termo do quociente.
  3. Multiplicar q(x) por x:
x\cdot q(x)=x\cdot(x^{2}+x+0)=x^{3}+x^{2}+0x.
  1. Subtrair do p(x):
p(x)-x\cdot q(x)=(x^{3}+x^{2}+0x+1)-(x^{3}+x^{2}+0x)=1.
  1. O resto após essa subtração é o polinômio constante 1. Seu grau é 0, que é menor que \deg q=2. Assim a divisão termina.
  2. Conclusão intermediária: o quociente é s(x)=x e o resto é r(x)=1.
  3. Verificação rápida: q(x)\,s(x)+r(x)=(x^{2}+x)\cdot x + 1 = x^{3}+x^{2}+1 = p(x). Está consistente.

Passo 5

Caso (b): dividir p(x)=2x^{3}-4x^{2}-x-3 por q(x)=x^{2}-2x-3.
  1. Termo de maior grau de p é 2x^{3}. Termo de maior grau de q é x^{2}.
  2. Dividir 2x^{3} por x^{2}: isso dá 2x. Esse é o primeiro termo do quociente.
  3. Multiplicar q(x) por 2x:
2x\cdot q(x)=2x\cdot(x^{2}-2x-3)=2x^{3}-4x^{2}-6x.
  1. Subtrair do p(x):
p(x)-2x\cdot q(x)=(2x^{3}-4x^{2}-x-3)-(2x^{3}-4x^{2}-6x).
Calcule termo a termo: os 2x^{3} e -4x^{2} cancelam, e para o termo em x fica -x-(-6x)=5x. O termo constante fica -3-0=-3. Logo o resto é 5x-3.
5. O resto 5x-3 tem grau 1, que é menor que \deg q=2. Então a divisão termina.
6. Conclusão intermediária: o quociente é s(x)=2x e o resto é r(x)=5x-3.
7. Verificação rápida: q(x)\,s(x)+r(x)=(x^{2}-2x-3)\cdot(2x)+(5x-3)=2x^{3}-4x^{2}-6x+5x-3=2x^{3}-4x^{2}-x-3=p(x). Confere.

Passo 6

Dica final rápida e moral de prova: sempre alinhe graus, não esqueça coeficientes zero, e depois de obter o resto verifique somando q\cdot s + r para garantir que recupera p. Isso evita erros de sinais ou termos faltando. Força aí — você consegue!

Resposta

Para p(x)=x^{3}+x^{2}+1 e q(x)=x^{2}+x: quociente x, resto 1.
Para p(x)=2x^{3}-4x^{2}-x-3 e q(x)=x^{2}-2x-3: quociente 2x, resto 5x-3.

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