Dividir o polinômio
pelo
, nos casos abaixo:
-
e
;
-
e
.
Passo 1
O enunciado pede dividir dois pares de polinômios e retornar quociente e resto em cada caso. As divisões solicitadas são:
- Dividir
por . - Dividir
por .
Informações relevantes dadas:
- Os polinômios
e estão explicitados acima para cada caso. - Para cada divisão queremos encontrar um polinômio quociente
e um resto tais que com .
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (divisão de polinômios passo a passo).
- Teorema da divisão: para polinômios
e com existe única decomposição
onde
é o quociente e
é o resto, e vale
ou
.
- Como proceder na prática (algoritmo):
- Escrever
e com todos os graus presentes, preenchendo coeficiente quando faltar termo (ex.: incluir o termo em se não estiver). - Dividir o termo de maior grau de
pelo termo de maior grau de . O resultado é o primeiro termo do quociente. - Multiplicar todo
por esse termo e subtrair do . O resultado é um novo polinômio (resto parcial). - Repetir o processo com o resto parcial: dividir seu termo de maior grau pelo termo de maior grau de
, obter o próximo termo do quociente, multiplicar e subtrair. - Parar quando o grau do resto for menor que o grau de
. Esse resto final é .
- Escrever
- Observação: cada operação usa apenas multiplicação e subtração de coeficientes inteiros aqui — dá para fazer à mão sem calculadora.
Passo 3
Preparação prática: sempre alinhar termos por grau. Se faltar algum grau colocar coeficiente
.
Exemplo de alinhamento para as divisões:
Exemplo de alinhamento para as divisões:
- No caso (a): escrever
e . - No caso (b): já estão todos os termos presentes:
e .
Agora aplicamos o algoritmo passo a passo em cada caso.
Passo 4
Caso (a): dividir
por
.
- Termo de maior grau de
é . Termo de maior grau de é . - Dividir
por : isso dá . Esse é o primeiro (e aqui único) termo do quociente. - Multiplicar
por :
- Subtrair do
:
- O resto após essa subtração é o polinômio constante
. Seu grau é , que é menor que . Assim a divisão termina. - Conclusão intermediária: o quociente é
e o resto é . - Verificação rápida:
. Está consistente.
Passo 5
Caso (b): dividir
por
.
- Termo de maior grau de
é . Termo de maior grau de é . - Dividir
por : isso dá . Esse é o primeiro termo do quociente. - Multiplicar
por :
- Subtrair do
:
Calcule termo a termo: os
e
cancelam, e para o termo em
fica
. O termo constante fica
. Logo o resto é
.
5. O resto tem grau
, que é menor que
. Então a divisão termina.
6. Conclusão intermediária: o quociente é e o resto é
.
7. Verificação rápida: . Confere.
5. O resto
6. Conclusão intermediária: o quociente é
7. Verificação rápida:
Passo 6
Dica final rápida e moral de prova: sempre alinhe graus, não esqueça coeficientes zero, e depois de obter o resto verifique somando
para garantir que recupera
. Isso evita erros de sinais ou termos faltando. Força aí — você consegue!
Resposta
Para
e
: quociente
, resto
.
Para
e
: quociente
, resto
.