Calcular o integral iterado e esboçar o domínio de integração:
.
Passo 1
O enunciado dá o integral iterado
O que se pede:
- Calcular o valor de
. - Esboçar (descrever) o domínio de integração no plano
.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável interna é
com limite inferior e limite superior . - A variável externa é
com . - A integranda é
.
Passo 2
Conceito importante antes de integrar: quando fazemos a integral interna em
,
tratamos
como constante. Explicação rápida das regras usadas:
- Se
é constante, . - Se
é constante, .
Aquiserá expressões em , que são constantes quando derivamos/integrarmos em .
Passo 3
Calculemos a integral interna passo a passo.
Primeiro escrevo a integral interna separando termos:
Agora cada parte:
- Para
, como é constante:
- Para
, é constante em :
Subtraindo as duas partes:
Faço agora a simplificação algébrica termo a termo:
e
Portanto
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Agora integramos a expressão obtida em
de
a
:
Integramos cada termo separadamente usando
:
Somando os três resultados:
Colocando em denominador comum
:
Passo 5
Esboço e descrição do domínio de integração (explicação passo a passo para desenhar no papel):
- As condições são
e . - Para cada valor fixo de
entre e , varia de até a reta .
Encontramos os vértices marcantes do domínio substituindo as extremidades:
- Quando
: => pontos e . - Quando
: => pontos e . - A reta
conecta a . - A linha vertical
conecta a .
Portanto o domínio é o quadrilátero com vértices, na ordem,
,
,
,
. É uma região com base inferior o segmento de
entre
e
, base superior o segmento de
entre
e
, lado esquerdo
e lado direito a reta
. Para esboçar: desenhe os pontos citados e ligue-os; a região fica preenchida entre essas curvas.
Dica extra útil na prova: se quiser trocar a ordem de integração (integrar primeiro em
e depois em
), observe que para um
fixo o
varia de
? Na verdade, analisar os valores de
:
-
varia globalmente de (menor) até (maior). - Para
, o percorre de até (pois a reta está à direita desses , então o limite superior é ). - Para
, o deve variar de até (pois a condição força ).
Assim a integração na ordem
seria a soma de dois integrais:
(Isto é só para você saber trocar ordem se precisar.)
Resposta
Domínio: