Calcular o integral iterado e esboçar o domínio de integração: I=\int_{0}^{1}\left(\int_{-1}^{y} x y-y^{3} d x\right) d y.

Passo 1

O enunciado dá o integral iterado
I=\int_{0}^{1}\left(\int_{-1}^{y} x y - y^{3}\, dx\right) dy.
O que se pede:
  1. Calcular o valor de I.
  2. Esboçar (descrever) o domínio de integração no plano xy.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável interna é x com limite inferior x=-1 e limite superior x=y.
  • A variável externa é y com 0\le y\le 1.
  • A integranda é x y - y^{3}.

Passo 2

Conceito importante antes de integrar: quando fazemos a integral interna em x,
\int_{-1}^{y} (x y - y^{3})\,dx,
tratamos y como constante. Explicação rápida das regras usadas:
  • Se a é constante, \displaystyle \int a\cdot x\,dx = a\cdot\frac{x^{2}}{2}+C.
  • Se a é constante, \displaystyle \int a\,dx = a\cdot x + C.
    Aqui a será expressões em y, que são constantes quando derivamos/integrarmos em x.

Passo 3

Calculemos a integral interna passo a passo.
Primeiro escrevo a integral interna separando termos:
\int_{-1}^{y} (x y - y^{3})\,dx = \int_{-1}^{y} x y\,dx \;-\; \int_{-1}^{y} y^{3}\,dx.
Agora cada parte:
  1. Para \displaystyle \int_{-1}^{y} x y\,dx, como y é constante:
\int_{-1}^{y} x y\,dx = y\int_{-1}^{y} x\,dx = y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=-1}^{x=y} = y\left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2}\right) = y\left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right).
  1. Para \displaystyle \int_{-1}^{y} y^{3}\,dx, y^{3} é constante em x:
\int_{-1}^{y} y^{3}\,dx = y^{3}\left[x\right]_{x=-1}^{x=y} = y^{3}(y-(-1)) = y^{3}(y+1).
Subtraindo as duas partes:
\int_{-1}^{y} (x y - y^{3})\,dx = y\left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right) - y^{3}(y+1).
Faço agora a simplificação algébrica termo a termo:
y\left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}y^{3}-\frac{1}{2}y,
e
y^{3}(y+1)=y^{4}+y^{3}.
Portanto
\int_{-1}^{y} (x y - y^{3})\,dx = \left(\frac{1}{2}y^{3}-\frac{1}{2}y\right) - \left(y^{4}+y^{3}\right).
Agrupando termos semelhantes:
\int_{-1}^{y} (x y - y^{3})\,dx = -y^{4} - \frac{1}{2}y^{3} - \frac{1}{2}y.

Passo 4

Agora integramos a expressão obtida em y de 0 a 1:
I=\int_{0}^{1}\left(-y^{4} - \frac{1}{2}y^{3} - \frac{1}{2}y\right) dy.
Integramos cada termo separadamente usando \displaystyle \int y^{n} dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} -y^{4}\,dy = -\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{5}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{1} -\frac{1}{2}y^{3}\,dy = -\frac{1}{2}\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{8}.
  3. \displaystyle \int_{0}^{1} -\frac{1}{2}y\,dy = -\frac{1}{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.
Somando os três resultados:
I = -\frac{1}{5} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4}.
Colocando em denominador comum 40:
I = -\frac{8}{40} - \frac{5}{40} - \frac{10}{40} = -\frac{23}{40}.

Passo 5

Esboço e descrição do domínio de integração (explicação passo a passo para desenhar no papel):
  • As condições são 0\le y\le 1 e -1\le x\le y.
  • Para cada valor fixo de y entre 0 e 1, x varia de -1 até a reta x=y.
Encontramos os vértices marcantes do domínio substituindo as extremidades:
  • Quando y=0: x\in[-1,0] => pontos (-1,0) e (0,0).
  • Quando y=1: x\in[-1,1] => pontos (-1,1) e (1,1).
  • A reta x=y conecta (0,0) a (1,1).
  • A linha vertical x=-1 conecta (-1,0) a (-1,1).
Portanto o domínio é o quadrilátero com vértices, na ordem, (-1,0), (0,0), (1,1), (-1,1). É uma região com base inferior o segmento de y=0 entre x=-1 e x=0, base superior o segmento de y=1 entre x=-1 e x=1, lado esquerdo x=-1 e lado direito a reta x=y. Para esboçar: desenhe os pontos citados e ligue-os; a região fica preenchida entre essas curvas.
Dica extra útil na prova: se quiser trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y e depois em x), observe que para um x fixo o y varia de y=\max(0,x) ? Na verdade, analisar os valores de x:
  • x varia globalmente de -1 (menor) até 1 (maior).
  • Para -1\le x\le 0, o y percorre de 0 até 1 (pois a reta x=y está à direita desses x, então o limite superior é 1).
  • Para 0\le x\le 1, o y deve variar de y=x até 1 (pois a condição x\le y força y\ge x).
Assim a integração na ordem dy\,dx seria a soma de dois integrais:
\int_{x=-1}^{0}\int_{y=0}^{1} (\cdots)\,dy\,dx + \int_{x=0}^{1}\int_{y=x}^{1} (\cdots)\,dy\,dx.
(Isto é só para você saber trocar ordem se precisar.)

Resposta

-\dfrac{23}{40}
Domínio: \{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\\\ -1\le x\le y\} (quadrilátero com vértices (-1,0),(0,0),(1,1),(-1,1)).

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