Questäo:(4.0 pontos) Calcule as integrais:
\iiint_{W} x d V; onde W é a sólido limitado pelo cilindro: x^{2}+y^{2}=4, pelo paraboloide: z=x^{2}+y^{2} e o plano z=10, no interior do cilindro.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral tripla \iiint_{W} x\,dV.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Região }W\text{ é o sólido limitado por:}\\\ &\quad\text{o cilindro }\,x^{2}+y^{2}=4,\\\ &\quad\text{o paraboloide }\,z=x^{2}+y^{2},\\\ &\quad\text{o plano }\,z=10, \end{aligned}ãéó
e está dentro do cilindro (ou seja, o cilindro é a fronteira lateral). Portanto a região contém todos os pontos (x,y,z) tais que \,x^{2}+y^{2}\le 4 e \,x^{2}+y^{2}\le z\le 10.

Passo 2

Escolha do método: a região tem simetria circular (aparece x^{2}+y^{2} e um cilindro de raio constante), então a melhor escolha é usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Coordenadas cartesianas seriam possíveis, mas em cilíndricas as equações e o elemento de volume ficam muito simples — isso facilita muito as contas na prova.

Passo 3

Definição das coordenadas cilíndricas e do elemento de volume:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
com r\ge 0, \theta\in[0,2\pi).
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve explicação do r: ele é o fator jacobiano da transformação entre coordenadas; geometricamente representa a “espessura” angular que converte um ângulo em comprimento ao multiplicar por r.

Passo 4

Descrever a região W em cilíndricas:
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=4 vira r^{2}=4, ou seja r=2. Como estamos no interior do cilindro, 0\le r\le 2.
  • O paraboloide z=x^{2}+y^{2} vira z=r^{2}.
  • O plano z=10 permanece z=10.
    Portanto, para cada (r,\theta) com 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi, o z varia de z=r^{2} até z=10. Observação numérica: para r\le 2 temos r^{2}\le 4\le 10, então a ordem r^{2}\le z\le 10 faz sentido em toda a região.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
\iiint_{W} x\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{10} \bigl(r\cos\theta\bigr)\cdot r\; dz\,dr\,d\theta.
Aqui substituímos x por r\cos\theta e dV por r\,dz\,dr\,d\theta. Simplificando o integrando:
\bigl(r\cos\theta\bigr)\cdot r = r^{2}\cos\theta.

Passo 6

Integrar em z primeiro (porque o integrando não depende de z além do limite):
\int_{z=r^{2}}^{10} r^{2}\cos\theta \;dz = r^{2}\cos\theta \cdot \bigl(10 - r^{2}\bigr).
Logo a integral fica
\iiint_{W} x\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cos\theta\,(10 - r^{2})\;dr\,d\theta.

Passo 7

Separar as integrais e observar a dependência em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cos\theta\,(10 - r^{2})\;dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{2} r^{2}(10 - r^{2})\;dr\right).
Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0-0=0.
Como esse fator é 0, o produto inteiro é 0. Portanto
\iiint_{W} x\,dV = 0.

Passo 8

Intuição geométrica (cheia de ânimo): isso também faz sentido por simetria. A região W é simétrica em relação ao plano y\!z (trocar x por -x deixa W inalterado), e a função integranda x muda de sinal ao trocar x por -x. Assim os contributions de pontos que são pares simétricos se cancelam, levando integral zero — um argumento rápido que muitas vezes salva tempo na prova.

Resposta

0

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