(a) Encontre a solução geral da equação
para
, para
e para
.
(b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para
.
(c) Para quais valores de
todas as soluções tendem a zero quando
.
(b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
(c) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas, e nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
e depois uma segunda equação não homogênea
válida para
. Especificamente o que nos pedem:
- (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea
em três casos: , e . - (b) Para
, determinar uma forma adequada (ou seja, um palpite) para uma solução particular da equação não homogênea dada. - (c) Determinar para quais valores de
todas as soluções da equação homogênea tendem a zero quando .
Informações relevantes dadas: as duas equações acima e a restrição
no item (b). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Começamos a resolver a homogênea por um procedimento padrão: substituir uma solução do tipo exponencial
. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica). Faço isso e explico o porquê:
- Se
, então e . Substituindo em e dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação para :
Essa equação quadrática determina os tipos de soluções possíveis (raízes reais distintas, repetidas ou complexas).
Passo 3
Resolvo a quadrática
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula para raízes de quadrática). A fórmula geral para raízes de
é
. Aplicando aqui (
) obtemos:
Note que o discriminante é
. É isso que determina os três casos pedidos:
- Se
, então e as raízes são complexas conjugadas. - Se
, então e há uma raiz real dupla. - Se
, então e as raízes são reias distintas.
Passo 4
Caso
: aqui a raiz dentro da raiz quadrada é negativa. Para clareza, defino
que é um número real positivo quando
. Então
As raízes ficam
Para uma equação com raízes complexas conjugadas
, a solução geral é da forma
onde
e
são constantes arbitrárias. Explico: as combinações lineares de
e
podem ser reescritas em termos de exponencial real multiplicando cosseno e seno — essa é uma identidade trigonométrica/exponencial padrão.
Passo 5
Caso
: aqui o discriminante é zero, então as duas raízes coincidem em
. Para uma raiz real dupla
a forma geral das soluções é
porque quando há multiplicidade 2 de uma raiz
, as duas soluções independentes são
e
. Isso garante duas constantes de integração linearly independent.
Passo 6
Caso
: agora
, defino
. As raízes são reais distintas
Então a solução geral é
Expliquei: para raízes reais distintas a solução geral é combinação linear das exponenciais
e
.
Passo 7
Agora o item (b): queremos uma forma adequada para uma solução particular da equação
assumindo
. Observações importantes (passo-a-passo didático):
- A parte direita é um produto de um polinômio em
de grau (o fator ), uma exponencial e uma função trigonométrica com . Em notação compacta:
- O método de coeficientes indeterminados sugere tentar uma solução particular do mesmo tipo: produto de um polinômio da mesma ordem por
por combinações linear de e . - Porém existe ressonância: os expoentes complexos
são precisamente as raízes da equação característica (ver Passo 4). Como o termo forçante contém , a forma sem ajuste estaria já presente na solução homogênea. Para lidar com isso multiplicamos o palpite por uma potência de igual à multiplicidade da raiz correspondente; aqui a multiplicidade é (raiz simples ), então multiplicamos o palpite por . - Sem ressonância, um palpite típico para RHS com
seria
Como há ressonância de ordem
, multiplicamos por
e obtemos o palpite adequado.
Passo 8
Concluo a forma adequada do palpite particular (escrevo com letras minúsculas para os coeficientes que vamos determinar depois se necessário):
onde
e
são constantes a determinar. Explico de novo de forma simples: a forma tem polinômios de grau
multiplicando seno e cosseno porque começamos com grau
em
e a multiplicação por
(devida à ressonância) aumenta o grau para
. Essa é a forma mínima que geralmente funciona para o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 9
Para (c) precisamos decidir para que
todas as soluções da homogênea tendem a zero quando
. Olho as soluções gerais dos três casos:
- Para
(complexas): . A parte exponencial é com fator real no expoente; como , qualquer combinação com seno/cosseno tende a zero. Portanto para todo as soluções decaem para zero. - Para
(raiz dupla ): . Sabemos que quando (a exponencial domina o polinômio), então qualquer combinação . Logo para também todas as soluções tendem a zero. - Para
(raízes reais distintas): raízes e . Note que , logo satisfaz (negativo) e (negativo). Assim ambos os expoentes são negativos e ambas as exponenciais e tendem a zero, então toda solução tende a zero. - Para
: as raízes são e . A solução geral é . Nem todas as soluções tendem a zero porque o termo (constante) permanece; só tendem a zero se . Portanto é ruim. - Para
: temos , então . Assim há uma componente exponencial crescente , e para escolhas gerais de constantes as soluções não tendem a zero (crescem exponencialmente).
Portanto a condição que garante que todas as soluções tendam a zero é que ambos os reais partes das raízes sejam negativos, o que ocorre exatamente para
.
Passo 10
Resumo lógico final do que já foi obtido (sem repetir derivação): as soluções gerais para cada caso do item (a) foram escritas explicitamente; a forma adequada do particular para (b) foi dada; e a condição para decaimento em (c) é
. Agora deixo a resposta final condensada no formato pedido.
Resposta
(a) Para
:
Para
:
Para
:
(b) Para
uma forma adequada (palpite) para a solução particular é
com
constantes a determinar.
(c) Todas as soluções tendem a zero quando
precisamente para
.