Calcular
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2) dz, dy, dx
Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender sobre mudança de coordenadas para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. Observamos que:
  • x varia de -2 a 2.
  • y varia de -raiz4 - x^2 a raiz4 - x^2, o que descreve um círculo de raio 2 no plano xy.
  • z varia de raizx^2 + y^2 a 2.
Como o integrando é x^2 + y^2, que é igual a r^2 em coordenadas polares, fica mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume dV passa a ser r, dz, dr, dtheta.

Passo 3

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^2 cdot r, dz, dr, dtheta
Aqui:
  • θ varia de 0 a 2pi (uma volta completa).
  • r varia de 0 a 2 (raio do círculo).
  • z varia de r a 2.
O integrando x^2 + y^2 virou r^2, e multiplicamos pelo Jacobiano r.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a z:
integralr^2 r^3 , dz = r^3 (2 - r)
Simplificamos assim porque r^3 é uma constante em relação a z.

Passo 5

Em seguida, resolvemos a integral em relação a r:
integral0^2 (2r^3 - r^4) , dr
Calculando cada termo separadamente:
  • integral0^2 2r^3 , dr = 2 cdot 2^44 = 8
  • integral0^2 r^4 , dr = 2^55 = 325
Subtraindo:
8 - 325 = 405 - 325 = 85

Passo 6

Por fim, resolvemos a integral em relação a θ:
integral0^2pi 85 , dtheta = 85 cdot 2pi = 16pi5

Resposta

O valor da integral é dfrac16pi5.

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