Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender sobre mudança de coordenadas para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. Observamos que:
- x varia de -2 a 2.
- y varia de
a , o que descreve um círculo de raio 2 no plano xy. - z varia de
a 2.
Como o integrando é
, que é igual a
em coordenadas polares, fica mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
E o elemento de volume dV passa a ser
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui:
- θ varia de 0 a
(uma volta completa). - r varia de 0 a 2 (raio do círculo).
- z varia de r a 2.
O integrando
virou
, e multiplicamos pelo Jacobiano
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a z:
Simplificamos assim porque
é uma constante em relação a z.
Passo 5
Em seguida, resolvemos a integral em relação a r:
Calculando cada termo separadamente:
Subtraindo:
Passo 6
Por fim, resolvemos a integral em relação a θ:
Resposta
O valor da integral é
.