Se R são investidos a juros de são investidos a juros de ao ano, capitalizados n vezes por ano, o montante após 1 ano é ao ano, capitalizados n vezes por ano, o montante após 1 ano é , em que , em que é o período de capitalização, ou seja, o intervalo entre duas capitalizações sucessivas. Assim, por exemplo, se é o período de capitalização, ou seja, o intervalo entre duas capitalizações sucessivas Assim, por exemplo, se , o período de capitalização é , o período de capitalização é de ano, ou seja 3 meses.
Quando o período de capitalização tende a zero, dizemos que os juros são capitalizados continuamente; nesse caso, o montante após 1 ano é dado pelo limite
de ano, ou seja 3 meses Quando o período de capitalização tende a zero, dizemos que os juros são capitalizados continuamente; nesse caso, o montante após 1 ano é dado pelo limite
Repita a mesma tabela para a função M=lim x 0 1000(1+0,05 x)^1 / x . Você percebe algum padrão?

Passo 1

No enunciado precisamos montar uma tabela para a função y=(1+x)^1/x semelhante àquela de capitalização, ou seja, calcular valores de y para x decrescentes e investigar o que acontece quando xto0. O conteúdo é limite de função e definição da constante e.

Passo 2

Para isso, escolhemos valores de x que formam uma sequência decrescente: 1,,tfrac12,,tfrac14,,0.1,,0.01,,0.001. A cada x vamos calcular y=(1+x)^1/x.

Passo 3

Calculamos os valores de y:
  • Para x=1:
y=(1+1)^1/1=2
  • Para x=tfrac12:
y=(1+0.5)^1/(1/2)=(1.5)^2=2.25
  • Para x=tfrac14:
y=(1+0.25)^1/(1/4)=(1.25)^4approx2.4414
  • Para x=0.1:
y=(1+0.1)^1/0.1=1.1^10approx2.5937
  • Para x=0.01:
y=(1+0.01)^1/0.01=1.01^100approx2.7048
  • Para x=0.001:
y=(1+0.001)^1/0.001=1.001^1000approx2.7169

Passo 4

Observando os resultados, vemos que à medida que x diminui em direção a zero, os valores de (1+x)^1/x aumentam e se aproximam cada vez mais de um valor fixo.

Resposta

Sim. Os valores de (1+x)^1/x convergem para a constante de Euler eapprox2.71828 quando xto0.

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