Calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e, em seguida, derivar a(s) resposta(s) para conferir. A expressão dada é
Informações relevantes fornecidas:
Observação: a expressão envolve divisões por
, então devemos lembrar que tudo vale para
.
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo por
. Calculemos termo a termo:
Portanto o integrando simplificado é
Passo 3
Lembra da regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais)? Ela diz: para todo
,
onde
é a constante de integração (representa que antiderivadas podem diferir por uma constante). Também usamos a linearidade da integral: constantes podem sair da integral e a integral da soma é a soma das integrais. Exemplo rápido:
pois aqui
.
Passo 4
Aplicando a regra termo a termo:
Integramos
:
Integramos
. Tiramos a constante
para fora:
Integramos
. Tiramos o
:
Passo 5
Somando todas as parcelas (e acrescentando a constante
) obtemos a antiderivada:
Passo 6
Agora vamos derivar essa expressão para conferir que voltamos ao integrando. Usamos a regra da potência para derivadas: para todo
,
Derivando termo a termo:
Derivada de
:
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando:
que é exatamente o integrando simplificado. Voltando à forma original (colocando sobre
):
Portanto a derivada confere: a antiderivada está correta.