Calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
\int \frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e, em seguida, derivar a(s) resposta(s) para conferir. A expressão dada é
\frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o integrando é }\frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}}.é
Observação: a expressão envolve divisões por x, então devemos lembrar que tudo vale para x\neq 0.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo por x^{4}. Calculemos termo a termo:
\frac{x^{5}}{x^{4}}=x,\qquad \frac{2x^{2}}{x^{4}}=2x^{-2},\qquad \frac{-1}{x^{4}}=-x^{-4}.
Portanto o integrando simplificado é
x+2x^{-2}-x^{-4}.

Passo 3

Lembra da regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais)? Ela diz: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (representa que antiderivadas podem diferir por uma constante). Também usamos a linearidade da integral: constantes podem sair da integral e a integral da soma é a soma das integrais. Exemplo rápido: \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C pois aqui n=1.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo:
Integramos \;x:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Integramos \;2x^{-2}. Tiramos a constante 2 para fora:
2\int x^{-2}\,dx=2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-2x^{-1}=-\frac{2}{x}.
Integramos \;-x^{-4}. Tiramos o -1:
-1\cdot\int x^{-4}\,dx=-1\cdot\frac{x^{-3}}{-3}=+\frac{1}{3}x^{-3}=\frac{1}{3x^{3}}.

Passo 5

Somando todas as parcelas (e acrescentando a constante C) obtemos a antiderivada:
\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3x^{3}}+C.

Passo 6

Agora vamos derivar essa expressão para conferir que voltamos ao integrando. Usamos a regra da potência para derivadas: para todo n,
\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}.
Derivando termo a termo:
Derivada de \frac{x^{2}}{2}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2x}{2}=x.
Derivada de -\frac{2}{x}=-2x^{-1}:
\frac{d}{dx}\left(-2x^{-1}\right)=-2\cdot(-1)x^{-2}=2x^{-2}.
Derivada de \frac{1}{3x^{3}}=\frac{1}{3}x^{-3}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{-3}\right)=\frac{1}{3}\cdot(-3)x^{-4}=-x^{-4}.
Somando:
x+2x^{-2}-x^{-4},
que é exatamente o integrando simplificado. Voltando à forma original (colocando sobre x^{4}):
x+2x^{-2}-x^{-4}=\frac{x^{5}+2x^{2}-1}{x^{4}}.
Portanto a derivada confere: a antiderivada está correta.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3x^{3}}+C
\displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3x^{3}}+C\right)=\frac{x^{5}+2x^{2}-1}{x^{4}}

Exercícios relacionados