Mostre que
lé para todo natural
, um número inteiro.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para mostrar que, para todo natural
, esse valor é um número inteiro.
Informações relevantes que temos (explicitamente da expressão):
Informações relevantes que temos (explicitamente da expressão):
e as bases das potências
A pergunta é: provar que, para todo
, a combinação
é um número inteiro.
Passo 2
Definimos a sequência
por
Primeiro observamos propriedades dos números
e
. Calculamos a soma e o produto:
Esses dois valores são importantes porque, para qualquer sequência definida por combinação linear de potências de
e
, a sequência satisfaz a recorrência linear cuja equação característica tem raízes
e
. A equação característica é
logo aqui
Passo 3
Agora mostramos que a sequência
satisfaz a recorrência associada. Tomemos a combinação
Substituindo
obtemos
Fatorando
e
e usando que
satisfaz
(porque são raízes da característica), cada parêntese é zero. Portanto
isto é,
Aqui explique rapidinho: uma sequência dada por
sempre satisfaz a recorrência cujo polinômio característico tem raízes
; a verificação é exatamente o cálculo acima.
Passo 4
Vamos calcular os termos iniciais
e
, pois com a recorrência e esses valores poderemos deduzir propriedades para todos os
. Começando por
:
Calculemos
:
Logo
Passo 5
Agora
:
Reescrevendo,
Já sabemos
. Vamos calcular
:
Portanto
Logo
Passo 6
Temos agora a recorrência inteira
com termos iniciais inteiros
e
. Mostramos por indução simples que todos os termos
são inteiros. Base:
são inteiros. Passo indutivo: suponha
e
inteiros; então
é combinação inteira de inteiros, logo
é inteiro. Assim por indução
para todo
.
Resposta
O valor é um número inteiro para todo
.