Calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado: \n
- Pedem para calcular a integral
. \n - Depois disso, pedem para derivar a antiderivada obtida para conferir se voltamos ao integrando. \n
- Informação importante: a expressão
só está definida para ; portanto tratamos a primitiva em cada intervalo onde não se anula (por exemplo ou ). \n
Passo 2
Reescrevendo o integrando numa forma mais conveniente: \n
É comum usar potências para aplicar a regra do poder (power rule) para primitiva.
Passo 3
Regra básica que vamos usar (antiderivada da potência): \n
onde
é um número real e
é a constante de integração. \n
Explicando a fórmula: ao integrar aumentamos o expoente em uma unidade (de
para
) e dividimos pelo novo expoente
. A condição
evita divisão por zero (o caso
dá
).
Explicando a fórmula: ao integrar
Passo 4
Aplicando a regra com
: \n
. Portanto,
Agora simplificamos a expressão:
Logo uma primitiva é
Passo 5
Vamos conferir derivando
. Primeiro recorde da regra de derivação da potência: \n
para qualquer
. \n
Derivando : \n
Derivando
Compute passo a passo: o coeficiente
multiplica a derivada de
, que é
. Multiplicando:
Portanto
, que é exatamente o integrando. A verificação confirma que a primitiva está correta (novamente lembrando
).