Calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
\int \frac{d x}{x^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado: \n
  • Pedem para calcular a integral \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}}. \n
  • Depois disso, pedem para derivar a antiderivada obtida para conferir se voltamos ao integrando. \n
  • Informação importante: a expressão \frac{1}{x^{3}} só está definida para x\neq 0; portanto tratamos a primitiva em cada intervalo onde x não se anula (por exemplo x>0 ou x<0). \n

Passo 2

Reescrevendo o integrando numa forma mais conveniente: \n
\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}.
É comum usar potências para aplicar a regra do poder (power rule) para primitiva.

Passo 3

Regra básica que vamos usar (antiderivada da potência): \n
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad n\neq -1,
onde n é um número real e C é a constante de integração. \n
Explicando a fórmula: ao integrar x^{n} aumentamos o expoente em uma unidade (de n para n+1) e dividimos pelo novo expoente n+1. A condição n\neq -1 evita divisão por zero (o caso n=-1 \int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C).

Passo 4

Aplicando a regra com n=-3: \n
n+1 = -3+1 = -2. Portanto,
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C.
Agora simplificamos a expressão:
\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.
Logo uma primitiva é
F(x) = -\frac{1}{2x^{2}} + C,\qquad x\neq 0.

Passo 5

Vamos conferir derivando F(x). Primeiro recorde da regra de derivação da potência: \n
\frac{d}{dx}x^{m} = m x^{m-1},
para qualquer m. \n
Derivando F(x) = -\tfrac{1}{2}x^{-2} + C: \n
F'(x) = -\tfrac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}x^{-2} + \frac{d}{dx}C = -\tfrac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3} + 0.
Compute passo a passo: o coeficiente -\tfrac{1}{2} multiplica a derivada de x^{-2}, que é -2x^{-3}. Multiplicando:
-\tfrac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}.
Portanto F'(x)=\dfrac{1}{x^{3}}, que é exatamente o integrando. A verificação confirma que a primitiva está correta (novamente lembrando x\neq 0).

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{2x^{2}} + C\n
\displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2x^{2}} + C\right)=\frac{1}{x^{3}}

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