Calcular a integral tripla integral triplaT z d V, onde T é a região interior às superfícies z=14(x^2+y^2) e x^2+y^2+z^2=5, utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaT z , dV, onde T é a região dentro das superfícies z = 14(x^2 + y^2) e x^2 + y^2 + z^2 = 5. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são r (raio), theta (ângulo) e z, o que facilita integrar regiões com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região T. Temos duas superfícies:
  1. Paraboloide: z = 14(x^2 + y^2). Em coordenadas cilíndricas, isso fica z = 14r^2.
  2. Esfera: x^2 + y^2 + z^2 = 5. Em coordenadas cilíndricas, vira r^2 + z^2 = 5.
Vamos encontrar o ponto onde essas duas superfícies se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 3

Igualando as duas equações para achar a interseção:
14r^2 = z
Substituindo z na equação da esfera:
r^2 + (14r^2)^2 = 5
Simplificando:
r^2 + 116r^4 = 5
Multiplicando tudo por 16 para eliminar a fração:
16r^2 + r^4 = 80
Rearranjando:
r^4 + 16r^2 - 80 = 0
Vamos chamar u = r^2:
u^2 + 16u - 80 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
u = -16 pm raiz256 + 3202 = -16 pm raiz5762 = -16 pm 242
As soluções são:
u = 82 = 4 e u = -402 = -20
Como u = r^2 não pode ser negativo, temos u = 4, então r^2 = 4 e r = 2.

Passo 4

Agora que sabemos que a interseção ocorre quando r = 2, vamos definir os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi (completando o círculo inteiro).
  • r varia de 0 a 2.
  • Para cada r, z varia de 14r^2 (paraboloide) a raiz5 - r^2 (esfera, resolvendo z = raiz5 - r^2).

Passo 5

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaT z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral14r^2^raiz5 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, r vem do Jacobiano ao mudar para coordenadas cilíndricas ( dV = r , dz , dr , dtheta).

Passo 6

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral14r^2^raiz5 - r^2 z cdot r , dz = r [ 12z^2 ]14r^2^raiz5 - r^2 = r ( 12(5 - r^2) - 12(14r^2)^2 )
Simplificando:
= r ( 52 - 12r^2 - 132r^4 ) = 52r - 12r^3 - 132r^5

Passo 7

Agora, integramos em relação a r:
integral0^2 ( 52r - 12r^3 - 132r^5 ) dr = 54r^2 - 18r^4 - 1192r^6 g|0^2
Calculando em r = 2:
= 54(4) - 18(16) - 1192(64) = 5 - 2 - 64192 = 3 - 13 = 83

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot 2pi = 16pi3

Resposta

A integral tripla integral triplaT z , dV vale 16pi3.

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