Calcular a integral tripla , onde é a região interior às superfícies , utilizando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla, onde é a região dentro das superfícies e . Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são (raio), (ângulo) e , o que facilita integrar regiões com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região . Temos duas superfícies:
Paraboloide: . Em coordenadas cilíndricas, isso fica .
Esfera: . Em coordenadas cilíndricas, vira .
Vamos encontrar o ponto onde essas duas superfícies se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 3
Igualando as duas equações para achar a interseção:
Substituindo na equação da esfera:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 16 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Vamos chamar :
Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são:
Como não pode ser negativo, temos , então e .
Passo 4
Agora que sabemos que a interseção ocorre quando , vamos definir os limites de integração:
varia de a (completando o círculo inteiro).
varia de a .
Para cada , varia de (paraboloide) a (esfera, resolvendo ).
Passo 5
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, vem do Jacobiano ao mudar para coordenadas cilíndricas ().
Passo 6
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :