Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas
34.
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Passo 1
Estamos calculando o limite
. O conteúdo aqui é limites aplicados à diferença de frações (função
), e vamos usar as propriedades de soma, diferença, produto, quociente e potência de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a diferença de frações do numerador como uma única fração. Usando a regra
, temos:
Passo 3
Substituímos essa expressão no limite original. Aplicando a propriedade de quociente de limites (desde que o denominador não seja zero para
próximo de zero), obtemos:
Passo 4
Reescrevemos a divisão por
como multiplicação por
. Assim:
Passo 5
Agora expandimos e fatoramos o numerador. Primeiro, expandindo:
Em seguida, fatoramos
:
Passo 6
Substituímos de volta e simplificamos cancelando
no numerador e no denominador (válido para
). Isso usa a propriedade de quociente de limites após simplificação algébrica:
Passo 7
Por fim, aplicamos as propriedades de limite de soma, potência e quociente. Como
e
, temos:
Passo 8
Portanto, o resultado do limite é justamente a derivada de
, que confirma nossa conta.
Resposta
-2/x^3