Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas
34. lim h 0 1(x+h)^2-1x^2h

Passo 1

Estamos calculando o limite limhto0 tfrac1(x+h)^2 - tfrac1x^2h. O conteúdo aqui é limites aplicados à diferença de frações (função f(x)=1/x^2), e vamos usar as propriedades de soma, diferença, produto, quociente e potência de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a diferença de frações do numerador como uma única fração. Usando a regra tfrac a c - tfrac b d=tfracad-bccd, temos:
1(x+h)^2 - 1x^2 = x^2 - (x+h)^2(x+h)^2,x^2

Passo 3

Substituímos essa expressão no limite original. Aplicando a propriedade de quociente de limites (desde que o denominador não seja zero para h próximo de zero), obtemos:
limhto0 tfracx^2 - (x+h)^2(x+h)^2 x^2h

Passo 4

Reescrevemos a divisão por h como multiplicação por 1/h. Assim:
limhto0 x^2 - (x+h)^2(x+h)^2 x^2 cdot 1h = limhto0 x^2 - (x+h)^2h,(x+h)^2 x^2

Passo 5

Agora expandimos e fatoramos o numerador. Primeiro, expandindo:
x^2 - (x+h)^2 = x^2 - (x^2 + 2xh + h^2) = -2xh - h^2
Em seguida, fatoramos h:
-2xh - h^2 = h(-2x - h)

Passo 6

Substituímos de volta e simplificamos cancelando h no numerador e no denominador (válido para hneq0). Isso usa a propriedade de quociente de limites após simplificação algébrica:
limhto0 h(-2x - h)h,(x+h)^2 x^2 = limhto0 -2x - h(x+h)^2 x^2

Passo 7

Por fim, aplicamos as propriedades de limite de soma, potência e quociente. Como limhto0(-2x - h) = -2x e limhto0(x+h)^2 = x^2, temos:
limhto0 -2x - h(x+h)^2 x^2 = -2xx^2 cdot x^2 = -2xx^4 = -2x^3

Passo 8

Portanto, o resultado do limite é justamente a derivada de 1/x^2, que confirma nossa conta.

Resposta

-2/x^3

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