Calcular
 
Onde T é a região delimitada pelo plano 
 , pelo paraboloide 
  e pelo cilindro 
 .
Resp.: 
 
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla:
Aqui, 
  é a região limitada pelo plano 
 , pelo paraboloide 
  e pelo cilindro 
 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa 
  para a distância ao eixo 
 , 
  para o ângulo, e 
  mesmo para a altura. As relações são:
E o elemento de volume 
  vira 
 .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região 
  é limitada pelo plano 
  (onde 
 ), pelo paraboloide 
 , e pelo cilindro 
  (já que 
  dá 
 ).
Então:
- 
varia de 0 a 2.  - 
varia de 0 a (cobrindo toda a volta).  - 
varia de 0 a .  
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, 
  e multiplicamos por 
  por causa do elemento de volume.
Passo 5
Vamos integrar em relação a 
  primeiro:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a 
 :
Então a integral fica:
Resposta
A integral vale 
 .