Use coordenadas polares para calcular a 
  sendo R a região delimitada 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla 
  usando coordenadas polares. A região 
  é delimitada pela equação 
 , onde 
 . Basicamente, vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a integração sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da região 
 . A equação 
  pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 
  centrado em 
 .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Substituindo 
  e 
  na equação do círculo:
Passo 4
Simplificando a equação:
Assim, 
  ou 
 . A solução 
  é apenas o ponto central, então a região é definida por 
 .
Passo 5
Agora, determinamos os limites para 
 . Como 
  deve ser positivo e 
 , temos que 
 .
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral na forma polar:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a 
 :
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, realizamos a substituição 
 , então 
 . Quando 
 , 
 ; e quando 
 , 
 . A integral se transforma em:
Resposta
O valor da integral é 
 .