Calcule as integrais definidas a seguir (a partir da definição), tomando como ponto amostral a extremidade direita de cada subintervalo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral definida
usando a definição (soma de Riemann), tomando como ponto amostral a extremidade direita de cada subintervalo. Informações importantes:
- Função integranda:
. - Intervalo de integração:
. - Amostragem: ponto à direita de cada subintervalo (right endpoint).
A próxima etapa é construir a soma de Riemann com uma partição emsubintervalos iguais e depois calcular o limite quando .
Passo 2
Partição e pontos:
- Dividimos
em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
- Os pontos da partição são
. - Como usamos a extremidade direita, o ponto amostral do i-ésimo subintervalo é
A soma de Riemann (soma dos retângulos) é
A integral é o limite dessa soma quando
:
Passo 3
Substituir
em
:
Expandindo:
e
Somando:
Logo
Passo 4
Separar a soma em termos conhecidos:
Colocando fatores constantes fora das somas:
Passo 5
Usar fórmulas das somas conhecidas e explicá-las rapidamente.
- Fórmula da soma dos primeiros inteiros:
Breve justificativa: emparelhando
obtém-se
termos com soma
pela metade das vezes, resultando em
.
- Fórmula da soma dos quadrados:
Breve justificativa (esboço): usar a identidade
, somar de
a
e isolar
levando em conta
; isso leva à fórmula acima.
Agora substituímos essas fórmulas em
:
Passo 6
Simplificar termo a termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
Portanto
Passo 7
Calcular o limite quando
:
Expressar cada parcela de forma a ver o comportamento quando .
Expressar cada parcela de forma a ver o comportamento quando
e
Somando tudo:
Ao fazer
, os termos com
no denominador tendem a zero. Logo
Portanto, pela definição de integral como limite da soma de Riemann com pontos à direita,
Passo 8
Checagem rápida (opcional, método padrão de antiderivadas): a primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
confirmando o resultado obtido pela soma de Riemann.