Calcule as integrais definidas a seguir (a partir da definição), tomando como ponto amostral a extremidade direita de cada subintervalo.
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+2 x\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral definida \int_{1}^{2}\left(x^{2}+2 x\right)\,dx usando a definição (soma de Riemann), tomando como ponto amostral a extremidade direita de cada subintervalo. Informações importantes:
  • Função integranda: f(x)=x^{2}+2x.
  • Intervalo de integração: [1,2].
  • Amostragem: ponto à direita de cada subintervalo (right endpoint).
    A próxima etapa é construir a soma de Riemann com uma partição em n subintervalos iguais e depois calcular o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Partição e pontos:
  • Dividimos [1,2] em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{2-1}{n}=\frac{1}{n}.
  • Os pontos da partição são x_0=1,\;x_1=1+\frac{1}{n},\;x_2=1+\frac{2}{n},\;\dots,\;x_n=1+\frac{n}{n}=2.
  • Como usamos a extremidade direita, o ponto amostral do i-ésimo subintervalo é
x_i^{*}=x_i=1+\frac{i}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann (soma dos retângulos) é
S_n=\sum_{i=1}^{n} f\bigl(x_i^{*}\bigr)\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\left(\bigl(x_i^{*}\bigr)^{2}+2x_i^{*}\right)\frac{1}{n}.
A integral é o limite dessa soma quando n\to\infty:
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+2x\right)\,dx=\lim_{n\to\infty}S_n.

Passo 3

Substituir x_i^{*}=1+\dfrac{i}{n} em f:
\bigl(x_i^{*}\bigr)^{2}+2x_i^{*}=\left(1+\frac{i}{n}\right)^{2}+2\left(1+\frac{i}{n}\right).
Expandindo:
\left(1+\frac{i}{n}\right)^{2}=1+\frac{2i}{n}+\frac{i^{2}}{n^{2}},
e
2\left(1+\frac{i}{n}\right)=2+\frac{2i}{n}.
Somando:
\bigl(x_i^{*}\bigr)^{2}+2x_i^{*}=3+\frac{4i}{n}+\frac{i^{2}}{n^{2}}.
Logo
S_n=\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{4i}{n}+\frac{i^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}.

Passo 4

Separar a soma em termos conhecidos:
S_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}3+\sum_{i=1}^{n}\frac{4i}{n}+\sum_{i=1}^{n}\frac{i^{2}}{n^{2}}\right).
Colocando fatores constantes fora das somas:
S_n=\frac{1}{n}\left(3n+\frac{4}{n}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}\right).

Passo 5

Usar fórmulas das somas conhecidas e explicá-las rapidamente.
  • Fórmula da soma dos primeiros inteiros:
\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}.
Breve justificativa: emparelhando 1+n,\;2+(n-1),\dots obtém-se n termos com soma n+1 pela metade das vezes, resultando em \dfrac{n(n+1)}{2}.
  • Fórmula da soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Breve justificativa (esboço): usar a identidade (i+1)^{3}-i^{3}=3i^{2}+3i+1, somar de i=1 a n e isolar \sum i^{2} levando em conta \sum i; isso leva à fórmula acima.
Agora substituímos essas fórmulas em S_n:
S_n=\frac{1}{n}\left(3n+\frac{4}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right).

Passo 6

Simplificar termo a termo:
  • Primeiro termo: \dfrac{1}{n}\cdot 3n=3.
  • Segundo termo: \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{4}{n}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{4n(n+1)}{2n}=\dfrac{1}{n}\cdot 2(n+1)=\frac{2(n+1)}{n}.
  • Terceiro termo:
\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}.
Portanto
S_n=3+\frac{2(n+1)}{n}+\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}.

Passo 7

Calcular o limite quando n\to\infty:
Expressar cada parcela de forma a ver o comportamento quando n\to\infty.
\frac{2(n+1)}{n}=2\left(1+\frac{1}{n}\right)=2+\frac{2}{n},
e
\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}} =\frac{2n^{2}+3n+1}{6n^{2}} =\frac{2}{6}+\frac{3}{6n}+\frac{1}{6n^{2}} =\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}}.
Somando tudo:
S_n=3+\left(2+\frac{2}{n}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}}\right) =5+\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{n}+\frac{1}{2n}\right)+\frac{1}{6n^{2}}.
S_n=\frac{16}{3}+\frac{5}{2n}+\frac{1}{6n^{2}}.
Ao fazer n\to\infty, os termos com n no denominador tendem a zero. Logo
\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{16}{3}.
Portanto, pela definição de integral como limite da soma de Riemann com pontos à direita,
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+2x\right)\,dx=\frac{16}{3}.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, método padrão de antiderivadas): a primitiva de x^{2}+2x é \dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}. Avaliando de 1 a 2:
\left(\frac{2^{3}}{3}+2^{2}\right)-\left(\frac{1^{3}}{3}+1^{2}\right) =\left(\frac{8}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right) =\frac{8+12-1-3}{3}=\frac{16}{3},
confirmando o resultado obtido pela soma de Riemann.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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