Para calcular um intervalo de confiança de 95 \% para a diferencia de médias em populações pequenas independentes, e variâncias conhecidas: ( 1 pt )
i) a variável fulcral associada é
(a) Normal
(b) Qui-quadrado
(c) F de Fisher-Snedecor
(d) t de student
(e) Poisson
(f) Binomial.
ii) e sua fórmula é: ____

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede construir um intervalo de confiança de 95\% para a diferença de médias entre duas populações independentes.
  • Informação importante fornecida: as amostras são pequenas (ou seja, n_1 e n_2 podem ser pequenos), as populações são independentes e as variâncias populacionais são conhecidas (ou seja, \sigma_1^2 e \sigma_2^2 são conhecidas).
  • As perguntas são:
    i) qual é a variável fulcral (pivot) associada — escolher entre as opções fornecidas;
    ii) escrever a fórmula dessa variável fulcral.

Passo 2

O que é “variável fulcral” (pivot) aqui?
  • Um pivot é uma combinação das amostras e dos parâmetros desconhecidos cuja distribuição de probabilidade não depende de parâmetros desconhecidos. Em intervalos de confiança, padronizamos a estatística de interesse para obter essa variável cujo quantil conhecemos (por exemplo, da Normal).
  • No problema o interesse é a diferença das médias amostrais \bar{X}_1-\bar{X}_2, cujo parâmetro correspondente é a diferença das médias populacionais \mu_1-\mu_2. Para construir um pivot, precisamos do desvio-padrão da distribuição amostral dessa diferença.

Passo 3

Calcular média e variância da diferença das médias amostrais (passo a passo, com explicação das notações).
  • Notação: \bar{X}_1 é a média amostral da amostra 1 (tamanho n_1), \bar{X}_2 é a média amostral da amostra 2 (tamanho n_2).
  • Parâmetros populacionais: \mu_1,\mu_2 são as médias verdadeiras; variâncias populacionais conhecidas são \sigma_1^2,\sigma_2^2.
  • Se as duas amostras são independentes, então \bar{X}_1 e \bar{X}_2 são independentes. Para médias amostrais extraídas de populações com médias e variâncias dadas, tem-se: \mathbb{E}(\bar{X}_1)=\mu_1,\qquad \mathbb{E}(\bar{X}_2)=\mu_2.Portanto \mathbb{E}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)=\mu_1-\mu_2.
  • Variâncias: a variância de \bar{X}_1 é \dfrac{\sigma_1^2}{n_1} e de \bar{X}_2 é \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}. Pela independência, \operatorname{Var}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}.

Passo 4

Construir o pivot (padronização) e justificar sua distribuição.
  • Para obter uma variável cuja distribuição não dependa de parâmetros desconhecidos, padronizamos subtraindo a média e dividindo pelo desvio-padrão da diferença. Assim obtemos o pivot Z=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}.
  • Por que Z é Normal? Há dois caminhos:
    • Se as populações de origem são normais, então cada \bar{X}_i é normal e a combinação linear \bar{X}_1-\bar{X}_2 é normal; portanto Z tem distribuição Normal padrão N(0,1).
    • Se as populações não forem normais, para amostras grandes o Teorema Central do Limite implica aproximação Normal; contudo como o enunciado fala em amostras pequenas, a condição necessária para a normalidade do pivot é assumir que as populações originais sejam normais.
  • Observação importante (para sua prova, modo amigo): a distribuição t aparece quando as variâncias populacionais são desconhecidas e precisam ser estimadas pelas variâncias amostrais; aqui as variâncias são conhecidas, então usamos a Normal (não usamos t).

Passo 5

Como usar esse pivot para formar o intervalo de confiança de 95\% (fórmula prática).
  • Para nível de confiança 95\% o quantil crítico da Normal padrão é z_{0{,}975}\approx 1{,}96 (porque \Pr(-1{,}96<Z<1{,}96)=0{,}95).
  • Assim o intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 é (\bar{X}_1-\bar{X}_2)\pm z_{0{,}975}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \bar{X}_1-\bar{X}_2: estimador pontual da diferença de médias;
    • z_{0{,}975}: quantil da Normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{0{,}975})=0{,}975 (≈ 1{,}96);
    • \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}: erro-padrão da diferença das médias.

Passo 6

Recapitulando (com ânimo): para amostras pequenas e variâncias conhecidas, a variável fulcral é a Normal padrão padronizando a diferença das médias; a fórmula do pivot foi apresentada e a partir dela você monta o intervalo de confiança com z_{0{,}975}. Vai dar certo na prova — respira e confia no raciocínio!

Resposta

(a) Normal
Z=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}

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