Para calcular um intervalo de confiança de
para a diferencia de médias em populações pequenas independentes, e variâncias conhecidas: ( 1 pt )
i) a variável fulcral associada é
(a) Normal
(b) Qui-quadrado
(c) F de Fisher-Snedecor
(d) t de student
(e) Poisson
(f) Binomial.
ii) e sua fórmula é: ____
i) a variável fulcral associada é
(a) Normal
(b) Qui-quadrado
(c) F de Fisher-Snedecor
(d) t de student
(e) Poisson
(f) Binomial.
ii) e sua fórmula é: ____
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O enunciado pede construir um intervalo de confiança de
para a diferença de médias entre duas populações independentes. - Informação importante fornecida: as amostras são pequenas (ou seja,
e podem ser pequenos), as populações são independentes e as variâncias populacionais são conhecidas (ou seja, e são conhecidas). - As perguntas são:
i) qual é a variável fulcral (pivot) associada — escolher entre as opções fornecidas;
ii) escrever a fórmula dessa variável fulcral.
Passo 2
O que é “variável fulcral” (pivot) aqui?
- Um pivot é uma combinação das amostras e dos parâmetros desconhecidos cuja distribuição de probabilidade não depende de parâmetros desconhecidos. Em intervalos de confiança, padronizamos a estatística de interesse para obter essa variável cujo quantil conhecemos (por exemplo, da Normal).
- No problema o interesse é a diferença das médias amostrais
, cujo parâmetro correspondente é a diferença das médias populacionais . Para construir um pivot, precisamos do desvio-padrão da distribuição amostral dessa diferença.
Passo 3
Calcular média e variância da diferença das médias amostrais (passo a passo, com explicação das notações).
- Notação:
é a média amostral da amostra 1 (tamanho ), é a média amostral da amostra 2 (tamanho ). - Parâmetros populacionais:
são as médias verdadeiras; variâncias populacionais conhecidas são . - Se as duas amostras são independentes, então
e são independentes. Para médias amostrais extraídas de populações com médias e variâncias dadas, tem-se: Portanto - Variâncias: a variância de
é e de é . Pela independência,
Passo 4
Construir o pivot (padronização) e justificar sua distribuição.
- Para obter uma variável cuja distribuição não dependa de parâmetros desconhecidos, padronizamos subtraindo a média e dividindo pelo desvio-padrão da diferença. Assim obtemos o pivot
- Por que
é Normal? Há dois caminhos: - Se as populações de origem são normais, então cada
é normal e a combinação linear é normal; portanto tem distribuição Normal padrão . - Se as populações não forem normais, para amostras grandes o Teorema Central do Limite implica aproximação Normal; contudo como o enunciado fala em amostras pequenas, a condição necessária para a normalidade do pivot é assumir que as populações originais sejam normais.
- Se as populações de origem são normais, então cada
- Observação importante (para sua prova, modo amigo): a distribuição
aparece quando as variâncias populacionais são desconhecidas e precisam ser estimadas pelas variâncias amostrais; aqui as variâncias são conhecidas, então usamos a Normal (não usamos ).
Passo 5
Como usar esse pivot para formar o intervalo de confiança de
(fórmula prática).
- Para nível de confiança
o quantil crítico da Normal padrão é (porque ). - Assim o intervalo de confiança para
é - Aqui cada símbolo significa:
-
: estimador pontual da diferença de médias; -
: quantil da Normal padrão tal que (≈ ); -
: erro-padrão da diferença das médias.
-
Passo 6
Recapitulando (com ânimo): para amostras pequenas e variâncias conhecidas, a variável fulcral é a Normal padrão padronizando a diferença das médias; a fórmula do pivot foi apresentada e a partir dela você monta o intervalo de confiança com
. Vai dar certo na prova — respira e confia no raciocínio!
Resposta
(a) Normal